Questão 179 do ENEM 2025

Como resolver a questão 179 passo a passo?

O conceito que resolve

Combinatória: escolha de subconjuntos e distribuição de itens distintos em grupos de tamanhos fixos, com restrição de inclusão/exclusão.

Como chegar na resposta

1. Escolher o presente especial que o filho mais velho receberá: 2 possibilidades (bicicleta ou celular).
2. Para cada escolha, selecionar 2 presentes adicionais dentre os 6 restantes (excluindo o outro presente especial).
3. Número de escolhas: C(6,2) = 15 para cada caso.
4. Restam 5 presentes. Escolher 3 deles para o filho mais novo: C(5,3) = 10.
5. Os 2 presentes restantes vão para o filho do meio.
6. Multiplicar: 15 × 10 = 150 para cada caso. Somar os dois casos: 150 + 150 = 300.

Por que cada alternativa

• AErro: considerou apenas a escolha dos presentes do filho mais velho, sem distribuir os restantes entre os outros filhos.
• BErro: confundiu a escolha dos presentes do filho mais velho com a escolha dos presentes do filho do meio, resultando em contagem incorreta.
• CConta corretamente a escolha de 2 presentes adicionais para o filho mais velho (C(6,2)=15) em cada caso (bicicleta ou celular), e depois a escolha de 3 presentes para o filho mais novo entre os 5 restantes (C(5,3)=10), multiplicando e somando os dois casos.
• DErro: multiplicou 15 por 12 (C(5,3)=10) e depois por 2, mas esqueceu de dividir por 2! ou confundiu a ordem dos presentes dentro de cada filho.
• EErro: ignorou a restrição de que o filho mais velho deve receber exatamente um dos dois presentes especiais, usando apenas 8!/(3!3!2!).

Onde essa questão derruba a maioria

Muitos estudantes aplicam diretamente o coeficiente multinomial 8!/(3!3!2!) e depois tentam subtrair as distribuições que violam a restrição, mas esquecem que a restrição exige exatamente um presente especial, não apenas pelo menos um.

O que estudar se você errou

Verifique sempre que a restrição é de exatamente um presente especial para o filho mais velho e que os grupos de 3,3,2 são formados a partir de itens distintos.