ENEM 2025 · Matemática
Questão 159 do ENEM 2025
Resposta: letra E. A distância D da lâmina de água ao tampo varia segundo D = k + tg[p(T + m)]; o gráfico mostra assíntotas em T = (5 − 2π)/2 e T = (5 + 2π)/2, passando por (2,5; 30).
Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo D = k + tg[p(T + m)], sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.
A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é
- AD T § © ¨ · ¹ ¸ ª ¬ « º ¼ » 2 5 30 5 2 , tg S
- BD T § © ¨ · ¹ ¸ ª ¬ « º ¼ » 4 30 tg
- CD T § © ¨ · ¹ ¸ ª ¬ « º ¼ » 4 2 5 5 2 tg , S
- DD T ª ¬ « º ¼ » tg
- ED T § © ¨ · ¹ ¸ ª ¬ « º ¼ » tgResposta correta
Como resolver a questão 159 passo a passo?
O conceito que resolve
A tangente tem assíntotas distantes π/p uma da outra e é simétrica em torno do ponto médio entre elas, onde vale k. Os parâmetros saem da distância entre assíntotas e do ponto de simetria.
Como chegar na resposta
- Distância entre as assíntotas: (5 + 2π)/2 − (5 − 2π)/2 = 2π; como o período da tg(pT) é π/p, 2π = π/p e p = 1/2.
- O ponto médio entre as assíntotas é T = 5/2, onde o argumento da tangente vale 0: p(T + m) = 0, logo m = −5/2.
- No ponto (2,5; 30), tg(0) = 0, então k = 30.
- D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)].
Por que cada alternativa
- AD = 2,5 + tg[30(T − ...)] usa valores de k e p trocados, com p = 30, incompatível com as assíntotas.
- BD = 4 + tg[30(T + 5/2)] também usa p = 30 e m positivo, incompatíveis.
- CD = 4 + tg[2,5(T + ...)] usa k = 4 e p = 2,5, incompatíveis com o gráfico.
- DD = 30 + tg[(1/2)(T − 5)] tem o centro em T = 5, e não em 2,5.
- ECorreta: D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)], com p = 1/2, m = −5/2 e k = 30.
Onde essa questão derruba a maioria
A alternativa D tem k e p corretos, mas o centro em T = 5 (e não 5/2); é preciso conferir o ponto de simetria entre as assíntotas.
O que estudar se você errou
Revise função tangente, assíntotas, período e transformações de gráficos.
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