Questão 177 do ENEM 2024

Como resolver a questão 177 passo a passo?

O conceito que resolve

O problema envolve a otimização de uma área retangular sob uma restrição de custo linear. A chave é expressar a área em função de uma única variável (neste caso, o comprimento do lado mais curto) e encontrar o valor dessa variável que maximiza a área, respeitando o limite de gastos.

Como chegar na resposta

1. Definimos as variáveis: L para o lado mais curto (custo R$ 20/m) e C para o lado mais longo (custo R$ 15/m).
2. Escrevemos a equação do custo total: 2L * 20 + 2C * 15 = 6000, que simplifica para 40L + 30C = 6000.
3. Expressamos C em função de L: C = (6000 - 40L) / 30 = 200 - 4/3 L.
4. A área A é dada por A = L * C = L * (200 - 4/3 L).
5. Para maximizar A, encontramos o vértice da parábola (A é uma função quadrática de L). O vértice ocorre em L = -b / (2a) = -(-4/3) / (2 * -4/3) = 100.
6. Substituindo L = 100 na equação de C, encontramos C = 200 - 4/3 * 100 = 200 - 133.33 ≈ 66.67. Como o lado mais longo é C, e o problema pede o maior lado, e 100 > 66.67, o maior lado é 100 m.

Por que cada alternativa

• A85: Se L fosse 85, C seria aproximadamente 110, e a área seria menor que o máximo possível. O custo total também seria menor que 6000, indicando que podemos usar mais material para aumentar a área.
• B100: Esta é a solução correta. Ao definir L = 100, a equação de custo é satisfeita (40*100 + 30*66.67 = 6000) e a área é maximizada (100 * 66.67 = 6667 m²).
• C175: Se L fosse 175, o custo total seria muito maior que 6000 (40*175 + 30*C > 6000), violando a restrição. Além disso, a área seria menor porque o lado C teria que ser muito pequeno para caber no orçamento.
• D200: Similar à opção C, um L de 200 m excederia o orçamento disponível, tornando a solução inviável.
• E350: Um L de 350 m é claramente impossível com um orçamento de 6000, pois só o custo dos lados de comprimento L já seria 40*350 = 14000.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha comum aqui é confundir o lado mais longo com o lado mais curto, ou assumir que o lado mais caro (L) é necessariamente o mais longo.

O que estudar se você errou

É importante revisar a interpretação das variáveis e a aplicação da fórmula de otimização de área.