ENEM 2024 · Matemática
Questão 145 do ENEM 2024
Resposta: letra C. Três postos de saúde distam 10 km entre si e estão à mesma distância do hospital H; pede-se essa distância.
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P , P e P , os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
- A2 e 3.
- B4 e 5.
- C5 e 6.Resposta correta
- D7 e 8.
- E8 e 9.
Como resolver a questão 145 passo a passo?
O conceito que resolve
O ponto equidistante dos vértices de um triângulo é o circuncentro. Em um triângulo equilátero de lado ℓ, o raio da circunferência circunscrita vale ℓ√3/3.
Como chegar na resposta
- Os postos formam um triângulo equilátero de lado 10 km.
- H é o circuncentro, e a distância a cada vértice é o circunraio R = 10√3/3.
- Com √3 ≈ 1,73, R ≈ 5,77 km, valor entre 5 e 6 km.
Por que cada alternativa
- AEntre 2 e 3 km corresponde a cerca de 1/3 da altura do triângulo, e não ao circunraio.
- BEntre 4 e 5 km subestima o circunraio (5,77 km).
- CCorreta: R = 10√3/3 ≈ 5,77 km, entre 5 e 6.
- DEntre 7 e 8 km corresponde a cerca de 2/3 da altura somada a uma folga, acima do circunraio.
- EEntre 8 e 9 km é próximo da altura do triângulo (8,66 km), e não do circunraio.
Onde essa questão derruba a maioria
A altura do triângulo (≈ 8,66 km) não é a distância ao centro: o circuncentro fica a 2/3 dessa altura a partir do lado, ou seja, ≈ 5,77 km do vértice.
O que estudar se você errou
Revise triângulo equilátero, circuncentro e raio da circunferência circunscrita.
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