ENEM 2023 · Matemática · geometria
Questão 146 do ENEM 2023
Resposta: letra E. No triângulo mágico, os números de 1 a 6 ocupam os seis círculos (três vértices e três meios de lado) e as somas dos números de cada lado devem ser iguais; os números dos vértices estão em progressão aritmética de razão 2.
O triângulo da figura é denominado triângulo mágico.
Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.
Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?
- AHá somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
- BHá somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
- CHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
- DHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
- EHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.Resposta correta
Como resolver a questão 146 passo a passo?
O conceito que resolve
Cada vértice entra em dois lados, então a soma das três somas dos lados é a soma de 1 a 6 mais a dos vértices. Como as três somas são iguais a S, vale 3S = 21 + (soma dos vértices).
Como chegar na resposta
- Três números de 1 a 6 em progressão aritmética de razão 2: (1, 3, 5) ou (2, 4, 6).
- Vértices 1, 3, 5: soma 9, então 3S = 21 + 9 = 30 e S = 10; os meios de lado são 2, 4, 6 (6 entre 1 e 3; 2 entre 3 e 5; 4 entre 5 e 1), e todas as somas dão 10.
- Vértices 2, 4, 6: soma 12, então 3S = 21 + 12 = 33 e S = 11; os meios de lado são 1, 3, 5 (5 entre 2 e 4; 1 entre 4 e 6; 3 entre 6 e 2), e todas as somas dão 11.
- Há, portanto, duas soluções: somas iguais a 10 e somas iguais a 11.
Por que cada alternativa
- AHá mais de uma solução, e as somas de 7 não ocorrem.
- BHá mais de uma solução, e as somas de 9 não ocorrem.
- CAs somas 7 e 9 não são possíveis: as possíveis são 10 e 11.
- DAs somas 9 e 12 não são possíveis nas condições dadas.
- ECorreta: há duas soluções, com somas iguais a 10 e a 11.
Onde essa questão derruba a maioria
Para (1, 3, 5), a soma total dos lados é 30 (e não 21): os vértices são contados duas vezes, o que leva a S = 10, e não 7.
O que estudar se você errou
Revise progressão aritmética, somas em figuras mágicas e contagem dupla de vértices.
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