ENEM 2020 · Matemática · geometria
Questão 172 do ENEM 2020
Resposta: letra A. Nesta questão, calculamos o raio da circunferência da base de uma árvore de Natal cônica usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo poste, pelo raio e pela mangueira.
No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.
A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de
- A4,00.Resposta correta
- B4,87.
- C5,00.
- D5,83.
- E6,26.
Como resolver a questão 172 passo a passo?
O conceito que resolve
O poste forma um ângulo reto com o chão, o que nos dá um triângulo retângulo onde a altura do poste é um cateto, o raio da circunferência no chão é o outro cateto, e a mangueira esticada é a hipotenusa. O comprimento total da mangueira dividido pelo número de partes indica o comprimento de cada mangueira individual, que serve como hipotenusa no cálculo.
Como chegar na resposta
- Primeiro, descobrimos o comprimento de cada uma das 20 mangueiras dividindo o total de 100 metros por 20, o que resulta em 5 metros para cada segmento.
- Identificamos os dados do triângulo retângulo: a altura do poste é 3 m (um cateto) e a mangueira é 5 m (a hipotenusa). O raio r da base é o outro cateto que precisamos encontrar.
- Aplicamos o Teorema de Pitágoras: a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos. Logo, 5 ao quadrado é igual a 3 ao quadrado mais r ao quadrado.
- Calculamos os quadrados: 25 = 9 + r ao quadrado. Isolamos r ao quadrado subtraindo 9 de 25, obtendo 16. Tirando a raiz quadrada de 16, encontramos que o raio r é igual a 4 metros.
Por que cada alternativa
- AEsta alternativa está correta porque o cálculo do Teorema de Pitágoras com hipotenusa 5 e cateto 3 resulta exatamente em um raio de 4 metros.
- BErro de cálculo na raiz quadrada ou uso incorreto dos valores, levando a um arredondamento incorreto do raio para 4,87 m.
- CErro de leitura onde o estudante confundiu o valor da hipotenusa (5 metros) com o valor do raio, esquecendo de aplicar o Teorema de Pitágoras.
- DErro conceitual ao somar a altura com o comprimento da mangueira ou falha na operação aritmética ao extrair a raiz quadrada.
- EErro de cálculo na divisão da mangueira ou na aplicação incorreta das operações fundamentais, resultando no valor excessivo de 6,26 m.
Onde essa questão derruba a maioria
A maior armadilha é achar que o comprimento de uma mangueira de 5 metros já é o raio da base, esquecendo que a mangueira forma a hipotenusa de um triângulo retângulo.
O que estudar se você errou
Pratique o Teorema de Pitágoras identificando corretamente quem é a hipotenusa e quem são os catetos em problemas de geometria espacial.
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