Questão 158 do ENEM 2020

Como resolver a questão 158 passo a passo?

O conceito que resolve

Num quadriculado, o número de caminhos só com passos para a direita e para cima é uma combinação: com m passos à direita e n para cima, há C(m+n, n) caminhos. Para evitar um ponto, subtrai-se do total os caminhos que passam por ele.

Como chegar na resposta

1. Pela figura, de A até B são 4 passos à direita e 3 para cima: total de C(7, 3) = 35 caminhos.
2. Passando por C: de A a C são 2 à direita e 2 para cima, C(4, 2) = 6 caminhos; de C a B são 2 à direita e 1 para cima, C(3, 1) = 3 caminhos; juntos, 6 × 3 = 18.
3. Os caminhos que não passam por C são 35 − 18 = 17.

Por que cada alternativa

• A4 não corresponde a nenhuma contagem coerente com a figura: é bem menor que o número de caminhos possíveis.
• B14 seria o resultado de somar ou subtrair partes erradas, como 35 − 21 ou 6 + 8.
• CCorreta: 35 − 18 = 17 caminhos que evitam a casa de Carlos.
• D35 é o total de caminhos de A até B sem a restrição: esquece de descontar os que passam por C.
• E48 resulta de somar 35 com 13 ou de multiplicar contagens parciais sem a subtração, passando do total possível.

Onde essa questão derruba a maioria

Os 35 caminhos totais aparecem como alternativa; a condição 'sem passar pela casa de Carlos' exige descontar os 18 que passam por C.

O que estudar se você errou

Revise análise combinatória: combinações, princípio multiplicativo e contagem por complemento.