Questão 171 do ENEM 2019

Como resolver a questão 171 passo a passo?

O conceito que resolve

Princípio da multiplicação aplicado a escolhas sequenciais sem reposição, equivalente ao coeficiente multinomial.

Como chegar na resposta

1. Escolher as posições dos 4 vagões vermelhos entre os 12: C(12,4).
2. Dos 8 vagões restantes, escolher as posições dos 3 vagões azuis: C(8,3).
3. Dos 5 vagões restantes, escolher as posições dos 3 vagões verdes: C(5,3).
4. Os 2 vagões restantes recebem automaticamente a cor amarela: C(2,2)=1.
5. Multiplicar as escolhas: C(12,4) × C(8,3) × C(5,3).

Por que cada alternativa

• AA trata cada escolha de cor como se fosse feita novamente sobre o conjunto completo de 12 vagões, ignorando que os vagões já coloridos não podem ser reutilizados, o que leva a uma supercontagem.
• BB soma as combinações em vez de multiplicá‑las, confundindo o princípio da adição (para alternativas mutuamente exclusivas) com o princípio da multiplicação (para escolhas sequenciais).
• CC introduz um fator 2 desnecessário e usa combinações incorretas (C(3,8) e C(2,5)) que não correspondem à redução correta do número de vagões disponíveis após cada etapa.
• DD soma uma constante 2 e repete a mesma combinação para azul e verde, misturando adição com multiplicação e não atualizando o número de vagões restantes após cada escolha.
• EE aplica corretamente o princípio da multiplicação: primeiro escolhe os 4 vermelhos entre 12, depois os 3 azuis entre os 8 restantes, depois os 3 verdes entre os 5 restantes e finalmente os 2 amarelos entre os 2 últimos, o que modela exatamente o processo de colorir os vagões.

Onde essa questão derruba a maioria

A armadilha comum é pensar que a ordem dos vagões influencia a contagem de cores ou tratar as escolhas de cada cor como independentes do conjunto total, esquecendo que, uma vez que um vagão recebe uma cor, ele não está mais disponível para as outras cores.

O que estudar se você errou

Verifique que o produto C(12,4)·C(8,3)·C(5,3) é igual ao coeficiente multinomial 12!/(4!·3!·3!·2!), que conta exatamente as distribuições das quatro cores nos 12 lugares fixos.