ENEM 2019 · Matemática · probabilidade
Questão 159 do ENEM 2019
Resposta: letra D. A questão trata de um problema de probabilidade em que um restaurante busca aumentar a visibilidade de suas placas de propaganda. O objetivo é determinar o número mínimo de placas necessárias para que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma placa seja maior que 99%.
O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2.
Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100.
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é
- A99
- B51
- C50
- D6Resposta correta
- E1
Como resolver a questão 159 passo a passo?
O conceito que resolve
A solução envolve o cálculo da probabilidade de um evento não ocorrer (nenhuma placa ser percebida) e a aplicação da regra de que a probabilidade de pelo menos um evento ocorrer é 1 menos a probabilidade de nenhum evento ocorrer. A fórmula utilizada é P(pelo menos uma) = 1 - P(nenhuma)^n, onde n é o número de placas.
Como chegar na resposta
- Identificar a probabilidade de uma única placa ser percebida: 1/2.
- Calcular a probabilidade de uma única placa não ser percebida: 1 - 1/2 = 1/2.
- Definir a condição do problema: a probabilidade de pelo menos uma placa ser percebida deve ser > 99% (ou 0.99).
- Usar a fórmula P(pelo menos uma) = 1 - P(nenhuma)^n. Substituir P(nenhuma) por 1/2 e a condição por 0.99.
- Resolver a inequação 1 - (1/2)^n > 0.99 para encontrar o valor mínimo de n.
- Isolar o termo com n: (1/2)^n < 0.01. Aplicar logaritmo para resolver n: n > log_2(0.01) ≈ 6.64. Portanto, n deve ser pelo menos 7.
Por que cada alternativa
- A99: Este número é muito alto e não é necessário para atingir a probabilidade de 99%. A conta mostra que apenas 7 placas são suficientes.
- B51: Similar à opção A, este número é excessivo. A probabilidade de 99% é alcançada com muito menos placas.
- C50: Também um número muito grande. A lógica matemática indica que apenas 7 placas são necessárias.
- D6: Este número é insuficiente. A conta mostra que a probabilidade de pelo menos uma placa ser percebida com 6 placas é aproximadamente 96.87%, o que não atinge o requisito de 99%.
- E1: Claramente insuficiente. Com apenas uma placa, a probabilidade de ser percebida é 50%, muito longe do objetivo de 99%.
Onde essa questão derruba a maioria
A pegadinha está na interpretação da probabilidade. Muitos alunos podem pensar que, como a probabilidade de uma placa ser percebida é 50%, basta dobrar ou triplicar o número de placas para chegar perto de 100%. No entanto, a matemática da probabilidade cumulativa (1 - (1/2)^n) mostra que o crescimento é exponencial, e apenas 7 placas são necessárias para atingir 99%. As opções com números altos (A, B, C) são armadilhas para quem não faz a conta corretamente.
O que estudar se você errou
É crucial revisar o conceito de probabilidade de eventos independentes e a fórmula para calcular a probabilidade de 'pelo menos um' evento ocorrer. Além disso, praticar a resolução de inequações exponenciais é importante para chegar ao número correto de placas.
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