Questão 156 do ENEM 2019

Como resolver a questão 156 passo a passo?

O conceito que resolve

O problema é um caso de emparelhamento (matching) em um conjunto de 8 elementos, com a restrição de que dois elementos específicos não podem ficar juntos. O número de emparelhamentos de 2n elementos é (2n‑1)!!, e a restrição é tratada por subtração de casos proibidos.

Como chegar na resposta

1. 1. Identificar os 8 jogadores: 2 canhotos (L1, L2) e 6 destros (R1–R6).
2. 2. Calcular o total de emparelhamentos sem restrição: (8‑1)!! = 7·5·3·1 = 105.
3. 3. Contar os emparelhamentos em que L1 e L2 formam um par: fixar esse par e emparelhar os 6 destros restantes, que dá (6‑1)!! = 5·3·1 = 15.
4. 4. Subtrair os casos proibidos: 105 – 15 = 90.
5. 5. Concluir que existem 90 maneiras distintas de formar as quatro duplas.
6. 6. Verificar que a resposta corresponde à alternativa C.

Por que cada alternativa

• AA) 69 – erro: subtrai apenas 36 casos em vez de 15, confundindo a contagem de pares entre os destros.
• BB) 70 – erro: considera que os pares são ordenados, multiplicando por 4! e depois dividindo incorretamente.
• CC) 90 – correta: 105 emparelhamentos totais menos 15 em que os canhotos ficam juntos.
• DD) 104 – erro: subtrai apenas 1 caso, ignorando que há 15 emparelhamentos com os canhotos juntos.
• EE) 105 – erro: ignora completamente a restrição de que os dois canhotos não podem formar dupla.

O que estudar se você errou

Relembre que o número de emparelhamentos de 2n pessoas é (2n‑1)!! e que a restrição se aplica apenas ao par dos dois canhotos.