Questão 178 do ENEM 2018

Como resolver a questão 178 passo a passo?

O conceito que resolve

Trata-se de um problema de equações e porcentagens envolvendo variáveis desconhecidas. Precisamos definir variáveis para os dados desconhecidos, estabelecer equações com base nas informações dadas e resolver o sistema para encontrar o valor desejado. Aqui, as variáveis são: número total de alunos do colégio, número de alunos que compraram 3 bilhetes, número de alunos que compraram 1 bilhete, e o total de bilhetes vendidos. A relação entre essas variáveis é dada pelas porcentagens e pelas informações sobre quantos bilhetes foram vendidos.

Como chegar na resposta

1. Definir variáveis: seja N o número total de alunos do colégio. Sabemos que 80 faltaram, então o número de alunos presentes é N - 80. Seja x o número de alunos que compraram 3 bilhetes e y o número de alunos que compraram 1 bilhete. Sabemos que 45 alunos compraram 2 bilhetes.
2. Expressar o total de bilhetes vendidos: os bilhetes vendidos são provenientes de três grupos: 3x (dos que compraram 3), 2 * 45 (dos que compraram 2) e y (dos que compraram 1). Assim, o total de bilhetes vendidos é 3x + 90 + y.
3. Estabelecer a primeira relação: o total de alunos presentes é a soma dos que compraram 1, 2 ou 3 bilhetes: (N - 80) = x + 45 + y.
4. Estabelecer a segunda relação: o total de bilhetes vendidos excede em 33 o número total de alunos do colégio: 3x + 90 + y = N + 33.
5. Estabelecer a terceira relação: o número de alunos que compraram 1 bilhete (y) é 20% do total de bilhetes vendidos: y = 0.20 * (3x + 90 + y).
6. Substituir N da primeira equação na segunda: 3x + 90 + y = (x + 45 + y + 80) + 33, simplificando para 3x + 90 + y = x + y + 158, e depois 2x = 68, então x = 34. Agora, substituir x = 34 na terceira relação: y = 0.20 * (3*34 + 90 + y), simplificando para y = 0.20 * (102 + 90 + y), y = 0.20 * (192 + y), y = 38.4 + 0.20y, e finalmente 0.80y = 38.4, então y = 48.

Por que cada alternativa

• AErro: confunde o número de alunos que compraram 3 bilhetes (x) com o número de alunos que compraram 1 bilhete (y). A alternativa ignora a relação de porcentagem e assume que x é a resposta direta, quando na verdade x = 34 é apenas um valor intermediário.
• BErro: cálculo incorreto da porcentagem. Alguém pode ter considerado que y é 20% do número de alunos presentes (N - 80) em vez do total de bilhetes vendidos. Isso leva a uma conta errada, pois a porcentagem deve ser aplicada sobre o total de bilhetes, não sobre o número de alunos.
• CErro: aproximação ou arredondamento incorreto. Alguém pode ter feito uma conta próxima, mas sem resolver corretamente a equação, resultando em um valor que não satisfaz todas as condições do problema, como a relação de porcentagem ou o excesso de 33 bilhetes.
• DCorreto: resolve todas as equações corretamente. O número de alunos que compraram 1 bilhete é 48, satisfazendo a relação de que y é 20% do total de bilhetes vendidos e todas as outras condições do problema.
• EErro: leitura equivocada do enunciado. Alguém pode ter confundido o número de alunos presentes (N - 80) com o número de alunos que compraram 1 bilhete, ignorando a relação de porcentagem e a condição de excesso de bilhetes.

Onde essa questão derruba a maioria

A questão exige que se estabeleça a relação entre o número de alunos que compraram 1 bilhete e o total de bilhetes vendidos, não apenas entre alunos presentes e bilhetes. Além disso, o excesso de 33 bilhetes em relação ao número total de alunos do colégio (e não apenas dos presentes) é uma informação crucial que muitos podem ignorar ou confundir.

O que estudar se você errou

Reveja as equações estabelecidas e certifique-se de que todas as relações foram corretamente traduzidas para expressões matemáticas. Preste atenção especial às porcentagens e às condições de excesso ou falta de valores. Verifique também se as unidades estão coerentes em todas as etapas.