ENEM 2018 · Matemática · funções
Questão 174 do ENEM 2018
Resposta: letra C. A densidade inicial de transistores foi 100 000 / 0,25 = 4 × 10⁵ transistores/cm². A Lei de Moore dobra essa densidade a cada 2 anos, então após t anos a densidade é D = 4 × 10⁵ · 2^{t/2}. Igualando D a 100 bilhões (1 × 10¹¹) e usando log₁₀2 ≈ 0,30, obtemos t ≈ 36 anos, ou seja, 1986 + 36 = 2022.
Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).
Considere 0,30 como aproximação para
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?
- A1999
- B2002
- C2022Resposta correta
- D2026
- E2146
Como resolver a questão 174 passo a passo?
O conceito que resolve
Crescimento exponencial com tempo de duplicação conhecido (Lei de Moore); utilização de logaritmos base 10 para resolver o expoente, com a aproximação log₁₀2 ≈ 0,30 fornecida.
Como chegar na resposta
- Calcular a densidade inicial: 100 000 transistores ÷ 0,25 cm² = 4 × 10⁵ transistores/cm².
- Escrever a lei de crescimento: D(t) = D₀·2^{t/2}, onde t é o número de anos após 1986.
- Igualar D(t) à densidade alvo: 4 × 10⁵·2^{t/2} = 1 × 10¹¹.
- Isolar o fator de crescimento: 2^{t/2} = (1 × 10¹¹)/(4 × 10⁵) = 2,5 × 10⁵.
- Aplicar log₁₀ em ambos os lados: (t/2)·log₁₀2 = log₁₀(2,5 × 10⁵).
- Substituir log₁₀2 ≈ 0,30 e calcular log₁₀(2,5 × 10⁵) = log₁₀2,5 + 5 ≈ 0,398 + 5 = 5,398.
Por que cada alternativa
- Aresulta de usar o tempo de duplicação de 1 ano em vez de 2 anos, o que dobra o número de etapas e antecipa o ano.
- Bvem de esquecer de dividir a área inicial (0,25 cm²) ao calcular a densidade, usando 100 000 transistores/cm² como D₀ e assim subestimando o crescimento necessário.
- Cestá correta porque, partindo da densidade inicial de 4 × 10⁵ transistores/cm² e dobrando a cada 2 anos, são necessárias aproximadamente 36 anos para chegar a 1 × 10¹¹ transistores/cm², levando ao ano 1986 + 36 = 2022.
- Docorre ao arredondar excessivamente o resultado de t/2 (usando 18,5 em vez de 18) ou ao usar log₁₀2 = 0,31 em vez de 0,30, o que acrescenta cerca de 4 anos ao cálculo.
- Esurge de interpretar erradamente a Lei de Moore como dobrar o número total de transistores (não a densidade) a cada 2 anos, levando a um crescimento muito mais lento e, portanto, a uma data muito distante.
Onde essa questão derruba a maioria
A questão fornece a aproximação 0,30 para log₁₀2; quem deixar de usar esse valor ou usar o logaritmo natural pode obter um t diferente e escolher uma alternativa errada.
O que estudar se você errou
Verificar se a densidade inicial foi calculada corretamente (transistores ÷ área), se o tempo de duplicação é de 2 anos e se o logaritmo usado está na base 10 com a aproximação dada.
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