ENEM 2018 · Matemática · geometria
Questão 161 do ENEM 2018
Resposta: letra B. Para cada bombeiro a distância ao foco A é o dobro da distância ao foco B, logo ele pertence à circunferência de Apollonius com razão 2:1. O centro dessa circunferência fica a 40 m de A, com raio 20 m. A maior distância entre dois pontos dessa circunferência é o seu diâmetro, 40 m.
Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é
- A30.
- B40.Resposta correta
- C45.
- D60.
- E68.
Como resolver a questão 161 passo a passo?
O conceito que resolve
Locus de Apollonius – conjunto de pontos cujas distâncias a dois pontos fixos têm razão constante.
Como chegar na resposta
- Coloque A em (0,0) e B em (30,0).
- Escreva a condição PA = 2·PB e eleve ao quadrado.
- Simplifique para obter a equação (x‑40)² + y² = 400.
- Identifique centro (40,0) e raio 20 m.
- O maior intervalo entre dois pontos da circunferência é o diâmetro, 2·20 = 40 m.
Por que cada alternativa
- AErro: assume que a distância máxima é a própria distância entre os focos, ignorando a condição de razão 2:1.
- BCorreta: corresponde ao diâmetro da circunferência de Apollonius obtida a partir da razão 2:1.
- CErro: confunde o raio com 22,5 m, resultante de dividir 45 por 2, sem derivar a circunferência.
- DErro: supõe que o diâmetro é duas vezes a distância entre os focos (2·30), sem considerar a condição de razão.
- EErro: calcula a distância entre os focos e o centro (40 m) somada ao raio (20 m), mas não representa a distância entre dois bombeiros.
Onde essa questão derruba a maioria
A questão pode parecer que a distância máxima é a distância entre os focos, mas a condição de razão 2:1 força os bombeiros a estarem em uma circunferência específica.
O que estudar se você errou
Verifique se a razão 2:1 foi aplicada corretamente ao derivar a equação da circunferência; o centro não está entre A e B.
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