ENEM 2018 · Matemática · probabilidade
Questão 154 do ENEM 2018
Resposta: letra D. A probabilidade de a segunda peça ficar na zona de combate da primeira é 2/(n+1). Para que essa probabilidade seja menor que 0,2, é preciso que n seja maior que 9, logo o menor n inteiro possível é 10, correspondendo a um tabuleiro 10 × 10.
Um _designer_ de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n x n, com no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 x 8.
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
- A4 x 4.
- B6 x 6.
- C9 x 9.
- D10 x 10.Resposta correta
- E11 x 11.
Como resolver a questão 154 passo a passo?
O conceito que resolve
Probabilidade em espaços discretos e razão entre casos favoráveis e casos possíveis, considerando que após a primeira jogada resta uma casa ocupada e n²‑1 casas vazias.
Como chegar na resposta
- Determinar o número de casas que pertencem à zona de combate de uma peça: mesma linha (n casas) + mesma coluna (n casas) – a casa da peça (contada duas vezes) = 2n‑1 casas.
- Excluir a casa já ocupada pela primeira peça, deixando 2n‑2 casas vazias na zona de combate.
- O número total de casas vazias disponíveis para a segunda peça é n²‑1.
- A probabilidade desejada é (2n‑2)/(n²‑1) = 2/(n+1).
- Impor a condição 2/(n+1) < 0,2 e resolver: n+1 > 10 → n > 9.
- O menor inteiro n que satisfaz a desigualdade é 10, logo o tabuleiro deve ter dimensão 10 × 10.
Por que cada alternativa
- A4 × 4 resulta em probabilidade 2/5 = 0,4, que é maior que 0,2; o erro foi usar n diretamente na denominatória ou esquecer de subtrair a casa ocupada.
- B6 × 6 dá probabilidade 2/7 ≈ 0,286, ainda acima de 0,2; o erro foi considerar que o limite seria 0,3 ou fazer um arredondamento inadequado.
- C9 × 9 fornece probabilidade exatamente 2/10 = 0,2, que não é menor que o limite exigido; o erro foi interpretar a condição como ≤ em vez de <.
- D10 × 10 produz probabilidade 2/11 ≈ 0,182, que satisfaz 2/(n+1) < 0,2; essa é a dimensão mínima que atende ao requisito.
- E11 × 11 também satisfaz a condição (2/12 ≈ 0,167), mas não é a mínima; o erro foi escolher um valor maior que o necessário sem verificar se um menor já funciona.
Onde essa questão derruba a maioria
A figura mostra a zona de combate incluindo a própria casa da peça; é essencial subtrair essa casa ao contar as casas vazias disponíveis para a segunda peça, caso contrário a probabilidade seria superestimada.
O que estudar se você errou
Verifique se a probabilidade foi simplificada corretamente para 2/(n+1) e se a desigualdade foi resolvida mantendo a direção correta ao multiplicar por (n+1) positivo.
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