Questão 153 do ENEM 2018

Como resolver a questão 153 passo a passo?

O conceito que resolve

Para uma corda de um círculo, a distância do centro à corda relaciona raio e metade da corda pelo teorema de Pitágoras; se a corda é tangente ao círculo interno, essa distância equivale ao raio interno, permitindo eliminar os raios e obter a área do anel diretamente a partir do comprimento da corda.

Como chegar na resposta

1. Seja R o raio externo (praça) e r o raio interno (chafariz).
2. O segmento AB de 16 m é uma corda do círculo externo tangente ao círculo interno, portanto a distância do centro à corda é r.
3. Pela relação corda: (AB/2)^2 + r^2 = R^2 → 8^2 + r^2 = R^2.
4. A área do passeio é π(R^2 − r^2) = π·8^2 = 64π m².

Por que cada alternativa

• A4π resulta de usar incorretamente metade da metade da corda (4 m) ao invés de sua metade correta (8 m) no cálculo do quadrado.
• B8π surge ao tomar o raio igual a metade da corda (8 m) e calcular a área de um círculo simples (πr²) em vez da diferença de áreas do anel.
• C48π ocorre quando se subtrai os quadrados dos raios de forma errada, dividindo por 4 o resultado correto (64π) devido a uma confusão de fatores.
• D64π está correta porque, a partir da relação (AB/2)^2 + r^2 = R^2, obtém‑se R^2 − r^2 = (AB/2)^2 = 8^2 = 64, levando à área π·64.
• E192π vem de calcular diretamente a diferença dos quadrados dos comprimentos (AB^2 − (AB/2)^2) = 256 − 64 = 192 e esquecer de dividir por 4, que corresponde ao fator (1/4) na expressão da área do anel.

Onde essa questão derruba a maioria

A medida necessária não é o raio de nenhum dos círculos, apenas o comprimento da corda tangente; assim o engenheiro pode obter a área do passeio sem conhecer os raios.

O que estudar se você errou

Verifique se a relação (AB/2)^2 + r^2 = R^2 foi aplicada corretamente e se a área do anel foi calculada como π(R^2−r^2); substituindo os valores obtém‑se 64π.