Questão 150 do ENEM 2018

Como resolver a questão 150 passo a passo?

O conceito que resolve

Probabilidade condicional e análise de experimentos de retirada de amostras. A chave para resolver este problema é entender como a transferência de bolas entre urnas altera a composição das mesmas e, consequentemente, as probabilidades de retirada de bolas pretas. A opção correta é aquela que resulta na maior probabilidade de retirar duas bolas pretas sem reposição.

Como chegar na resposta

1. Analisar a composição inicial de cada urna (A, B, C, D) em termos de bolas pretas, brancas e verdes.
2. Para cada opção (1 a 5), calcular a probabilidade de retirar duas bolas pretas consecutivamente.
3. Na opção 1, calcular a probabilidade direta de retirar duas pretas da urna A.
4. Na opção 2, calcular a probabilidade direta de retirar duas pretas da urna B.
5. Na opção 3, calcular a probabilidade de transferir uma bola de C para A e depois retirar duas pretas de A.
6. Na opção 4, calcular a probabilidade de transferir uma bola de D para C e depois retirar duas pretas de C. (Esta é a opção errada, pois a transferência não aumenta a probabilidade de retirar duas pretas de C.)

Por que cada alternativa

• A1: A urna A tem apenas 2 bolas pretas. A probabilidade de retirar a primeira preta é 2/6. Se uma preta já foi retirada, a probabilidade da segunda é 1/5. Assim, P(2 pretas) = (2/6) * (1/5) = 1/15.
• B2: A urna B tem 3 bolas pretas. A probabilidade da primeira preta é 3/10. A probabilidade da segunda preta, dado que uma já foi retirada, é 2/9. Assim, P(2 pretas) = (3/10) * (2/9) = 1/15.
• C3: Transferir uma bola de C para A. Se a bola transferida é preta, A fica com 3 pretas e 5 totais. P(2 pretas) = (3/5) * (2/4) = 3/10. Se a bola transferida é verde, A fica com 2 pretas e 6 totais. P(2 pretas) = (2/6) * (1/5) = 1/15. A média ou o pior caso ainda não é ótimo.
• D4: Transferir uma bola de D para C. Se a bola transferida é preta, C fica com 3 pretas e 4 totais. P(2 pretas) = (3/4) * (2/3) = 1/2. Se a bola transferida é branca, C fica com 2 pretas e 4 totais. P(2 pretas) = (2/4) * (1/3) = 1/6. A média ou o pior caso não é o melhor.
• E5: Transferir uma bola de C para D. Se a bola transferida é preta, D fica com 4 pretas e 6 totais. P(2 pretas) = (4/6) * (3/5) = 2/5. Se a bola transferida é verde, D fica com 3 pretas e 6 totais. P(2 pretas) = (3/6) * (2/5) = 1/5. A média ou o pior caso é melhor que as outras opções.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha está na opção D. A princípio, parece vantajoso transferir uma bola de D para C, pois D tem 3 pretas e 3 brancas, enquanto C tem 2 pretas e 2 verdes. No entanto, a transferência de uma bola preta de D para C aumenta o número de pretas em C, mas a probabilidade de retirar duas pretas de C é limitada pelo fato de que, após a primeira retirada, a probabilidade da segunda é muito baixa se a primeira não for preta. A opção E, por outro lado, garante que, mesmo no pior caso (transferindo uma verde), a probabilidade de retirar duas pretas é maior do que nas outras opções, pois D tem mais '

O que estudar se você errou

Ao revisar, é crucial calcular explicitamente as probabilidades para cada cenário de transferência e retirada. A opção E se destaca porque, mesmo que uma bola verde seja transferida, a urna D ainda terá 3 bolas pretas em 6, resultando em uma probabilidade de 1/5 para duas pretas, que é melhor do que as outras opções no pior caso. A opção D é enganosa porque, embora aumente o número de pretas em C, a distribuição final não é tão favorável quanto a de E.