ENEM 2018 · Matemática
Questão 139 do ENEM 2018
Resposta: letra A. Em uma malha de circunferências concêntricas e semirretas a cada π/6 rad, deve-se achar o menor percurso do ponto B ao ponto A sem passar pela origem.
Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de conforme a figura.
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0;0).
Considere o valor de _π_ com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.
Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a:
- A
Resposta correta - B
- C
- D
- E
Como resolver a questão 139 passo a passo?
O conceito que resolve
O comprimento de um arco de ângulo θ em uma circunferência de raio r é θ · r. Em trajetos por radiais e arcos, vale a pena fazer o arco no menor raio possível, pois o arco é mais curto lá, e compensar nos trechos radiais.
Como chegar na resposta
- B está em uma semirreta a 30° e raio 4; A está a 150° e raio 6: o ângulo entre eles é 120° = 2π/3 rad.
- O percurso é: trecho radial de B até o raio r, arco de 2π/3 sobre o raio r e trecho radial até A. O comprimento é (4 − r) + (2π/3)r + (6 − r).
- Isso dá 10 + (2π/3 − 2)r, e com π ≈ 3,1, o coeficiente 2π/3 − 2 é positivo (≈ 0,07), de modo que o menor valor é com o menor raio possível, r = 1.
- Percurso = 3 + 5 + 2π · 1 ÷ 3 = 2π · 1 ÷ 3 + 8.
Por que cada alternativa
- ACorreta: arco no raio 1 (2π · 1 ÷ 3) mais 8 de trechos radiais (3 + 5).
- BArco no raio 2 mais 6 de trechos radiais: é maior que o percurso por r = 1.
- CArco no raio 3 mais 4 de trechos radiais: é maior que o percurso por r = 1.
- DArco no raio 4 mais 2 de trechos radiais: é maior que o percurso por r = 1.
- EArco no raio 5 mais 2 de trechos radiais: também é maior que o percurso por r = 1.
Onde essa questão derruba a maioria
Fazer o arco direto no raio de B (4) parece natural, mas é mais curto descer até um raio menor e subir depois.
O que estudar se você errou
Revise comprimento de arco, radianos e otimização de percursos.
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