ENEM 2017 · Matemática · geometria
Questão 167 do ENEM 2017
Resposta: letra C. Um melão esférico de diâmetro 10 cm terá uma calota retirada de modo que o raio da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm, deixando a maior área possível para os doces.
Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
h Região onde serão afixados os doces A parte hachurada será apoiada na mesa Calota a ser cortada Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
- A5 - √91/2
- B10 - √91
- C1Resposta correta
- D4
- E5
Como resolver a questão 167 passo a passo?
O conceito que resolve
Em uma esfera de raio R, uma calota de altura h tem seção de raio r com r² = h(2R − h). A área esférica restante é 4πR² − 2πRh e é maior quanto menor for h.
Como chegar na resposta
- R = 5 cm, e r ≥ 3 cm, logo h(10 − h) ≥ 9, ou h² − 10h + 9 ≤ 0.
- As raízes de h² − 10h + 9 = 0 são h = 1 e h = 9, e a desigualdade vale para 1 ≤ h ≤ 9.
- A área disponível para os doces diminui conforme h aumenta (a calota retirada é maior).
- Para a maior área possível, escolhe-se o menor h permitido: h = 1 cm.
Por que cada alternativa
- A5 − √91/2 resulta de resolver a equação com r = 3 de modo incorreto.
- B10 − √91 também vem de uma conta incorreta de h com r = 3.
- CCorreta: h = 1 cm é o menor valor que mantém r ≥ 3 cm.
- Dh = 4 cm dá r = √24 ≈ 4,9 cm, mas retira uma calota maior que o necessário.
- Eh = 5 cm retira meia esfera, o que diminui a área disponível.
Onde essa questão derruba a maioria
O menor h que respeita r ≥ 3 é o de maior área; usar o maior corte (h = 5) seria o oposto do que o chefe quer.
O que estudar se você errou
Revise calota esférica, relação entre h e r e otimização de áreas.
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