Questão 162 do ENEM 2017

Como resolver a questão 162 passo a passo?

O conceito que resolve

A equação de Hill é uma função racional que descreve a velocidade de contração muscular. Quando plotada no plano cartesiano (p, v), ela forma um ramo de hipérbole, onde a velocidade tende a infinito quando o peso se aproxima de um valor específico (assíntota vertical) e tende a zero quando o peso é muito grande (assíntota horizontal).

Como chegar na resposta

1. Analisar a equação de Hill: (p + a)(v + b) = K. Esta é uma equação de segundo grau em p e v, mas é mais fácil de interpretar como uma função racional.
2. Reescrever a equação para isolar v: v = (K / (p + a)) - b. Isso mostra claramente que v é inversamente proporcional a (p + a), o que é característico de uma hipérbole.
3. Identificar as assíntotas: A assíntota vertical ocorre onde o denominador é zero, ou seja, p = -a. A assíntota horizontal ocorre quando p → ∞, onde v → -b (ou 0, dependendo do contexto, mas aqui é tratado como uma curva que se aproxima de zero para grandes p).
4. Concluir que a forma geométrica é um ramo de hipérbole, pois a curva se aproxima de duas linhas retas (assíntotas) e tem um formato de 'U' invertido ou 'V' aberto, dependendo da orientação.

Por que cada alternativa

• ASemirreta oblíqua: A equação não representa uma linha reta com inclinação constante. Ela é uma curva que se curva e se aproxima de assíntotas, o que é típico de uma hipérbole, não de uma semirreta.
• BSemirreta horizontal: A equação não é constante; a velocidade v varia significativamente com o peso p. Uma semirreta horizontal teria v = constante, o que não é o caso aqui.
• CRamo de parábola: Parábolas têm a forma de U ou U invertido, mas são definidas por equações quadráticas do tipo y = ax^2 + bx + c. A equação de Hill é linear em p e v, mas o produto forma uma curva hiperbólica, não parabólica.
• DArco de circunferência: A equação não representa um segmento de círculo. A forma é claramente de uma hipérbole, com curvas que se aproximam de linhas retas, não de um arco circular.
• ERamo de hipérbole: Esta é a classificação correta. A equação (p + a)(v + b) = K pode ser reescrita como uma função racional que forma um ramo de hipérbole no plano p-v, com assíntotas claras.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha está em confundir a forma da curva com outras geometrias. A equação de Hill, embora linear em seus fatores, resulta em uma curva não-linear (hipérbole) quando plotada. Muitos podem pensar que é uma parábola ou uma reta, mas a presença de assíntotas e o formato específico indicam uma hipérbole.

O que estudar se você errou

Para revisar, é importante entender a diferença entre as formas geométricas básicas: retas (semirretas), parábolas, círculos (arcos) e hipérboles. A equação de Hill é um clássico exemplo de uma função racional que forma uma hipérbole, e reconhecer isso é chave para resolver a questão.