Questão 161 do ENEM 2017

Como resolver a questão 161 passo a passo?

O conceito que resolve

A área de um retângulo é máxima quando suas dimensões são iguais, ou seja, quando ele é um quadrado. Para um perímetro fixo, o quadrado tem a maior área possível entre todos os retângulos com esse perímetro.

Como chegar na resposta

1. Identificamos que o perímetro do retângulo (2X + 2Y) é igual a 100 m, conforme o texto.
2. Sabemos que para maximizar a área, o retângulo deve ser um quadrado, ou seja, X = Y.
3. Substituindo na equação do perímetro: 2X + 2X = 100 → 4X = 100 → X = 25 m.
4. Portanto, Y também é 25 m, e a alternativa correta é D: 25 e 25.

Por que cada alternativa

• AA) 1 e 49: A área seria muito pequena (1*49 = 49), e o perímetro não seria 100 (2*1 + 2*49 = 100, mas não é um quadrado).
• BB) 1 e 99: Similar à A, área pequena e não quadrado.
• CC) 10 e 10: A área é 100, mas o perímetro é 40 (2*10 + 2*10), não 100. Além disso, não é a máxima área possível para um perímetro de 100.
• DD) 25 e 25: É um quadrado com perímetro 100 (2*25 + 2*25) e área máxima de 625 m².
• EE) 50 e 50: O perímetro seria 200 (2*50 + 2*50), o dobro do permitido. A área seria 2500, mas não é a solução para o perímetro de 100.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha está nas alternativas que não respeitam o perímetro de 100 m ou não formam um quadrado. A alternativa E, por exemplo, tem o dobro do perímetro, enquanto C tem um perímetro muito menor. Apenas D satisfaz ambas as condições: perímetro 100 e forma quadrada.

O que estudar se você errou

É importante lembrar que, para um perímetro fixo, o retângulo de maior área é sempre o quadrado. Além disso, ao resolver problemas de otimização geométrica, sempre verifique se as dimensões resultantes respeitam as rest.