ENEM 2016 · Matemática
Questão 165 do ENEM 2016
Resposta: letra D. João trabalha nos andares 1, 3, 5, … e Pedro nos andares 1, 4, 7, …; exatamente 20 andares receberam os dois, e ambos terminaram no último andar do prédio.
Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
- A40
- B60
- C100
- D115Resposta correta
- E120
Como resolver a questão 165 passo a passo?
O conceito que resolve
Andares comuns às duas sequências formam uma progressão aritmética de razão igual ao mínimo múltiplo comum das razões: mmc(2, 3) = 6. Além disso, o último andar do prédio precisa pertencer às duas sequências, pois os dois terminaram nele.
Como chegar na resposta
- João atende os andares ímpares (razão 2) e Pedro os andares 1, 4, 7, … (razão 3), então os dois atendem juntos os andares 1, 7, 13, … (razão 6).
- O termo geral dos andares comuns é 1 + 6(k − 1); com 20 andares comuns, o último é 1 + 6 × 19 = 115.
- O 115º andar é ímpar (João chega nele) e deixa resto 1 na divisão por 3 (Pedro chega nele), então os dois podem ter terminado ali.
- Logo o edifício tem 115 andares.
Por que cada alternativa
- ACom 40 andares só haveria 7 andares comuns (1, 7, …, 37), bem abaixo dos 20 exigidos.
- BCom 60 andares haveria apenas 10 andares comuns (1, 7, …, 55), ainda poucos.
- CCom 100 andares haveria 17 andares comuns (1, 7, …, 97), menos que os 20 do enunciado.
- DCorreta: 1 + 6 × 19 = 115, que pertence às duas sequências e fecha 20 andares comuns.
- ECom 120 andares também haveria 20 comuns (até 115), mas 120 é par: João não terminaria nele.
Onde essa questão derruba a maioria
O 120 parece servir porque também dá 20 andares comuns, mas o enunciado diz que os dois terminaram no último andar, e 120 não está na sequência de João.
O que estudar se você errou
Revise progressões aritméticas, mmc de razões e interseção de sequências.
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