ENEM 2015 · Matemática
Questão 154 do ENEM 2015
Resposta: letra E. O vidro tem borda superior em y = log x, base paralela ao eixo x e o eixo x divide ao meio a altura h; a base mede n; pede-se h em função de n.
Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura.
y(m) A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é
- AAlternativa A: ver figura
- BAlternativa B: ver figura
- CAlternativa C: ver figura
- DAlternativa D: ver figura
- EAlternativa E: ver figuraResposta correta
Como resolver a questão 154 passo a passo?
O conceito que resolve
Se o eixo x divide a altura ao meio, o ponto do vidro mais alto está em y = h/2 e o mais baixo em y = −h/2. Os dois extremos estão sobre a curva y = log x, com abscissas distanciadas de n.
Como chegar na resposta
- Extremo inferior: log x₁ = −h/2, logo x₁ = 10^(−h/2).
- Extremo superior: log(x₁ + n) = h/2, logo x₁ + n = 10^(h/2).
- Com u = 10^(h/2): u − 1/u = n, ou u² − nu − 1 = 0, de onde u = (n + √(n² + 4))/2.
- Então h/2 = log u, e h = 2 log[(n + √(n² + 4))/2].
Por que cada alternativa
- AA mostra a diferença de dois logaritmos, que não corresponde à equação u² − nu − 1 = 0.
- BB usa expressões 1 ± n/2 que não decorrem da condição dos dois extremos.
- CC usa expressões 1 ± n/2 somadas, que também não decorrem da condição.
- DD tem a raiz correta, mas falta o fator 2, pois h é o dobro de h/2.
- ECorreta: h = 2 · log[(n + √(n² + 4))/2].
Onde essa questão derruba a maioria
A expressão do logaritmo dá só a metade da altura (h/2); esquecer o fator 2 leva à alternativa D.
O que estudar se você errou
Revise logaritmos, equação do segundo grau e modelagem com funções.
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