Questão 159 do ENEM 2014

Como resolver a questão 159 passo a passo?

O conceito que resolve

Para resolver este problema, utilizamos o conceito de geometria plana e otimização. O jardim é dividido em uma grade de quadrados de 1x1 metro, e as mudas são colocadas nos vértices desses quadrados. O número máximo de mudas é determinado pela capacidade do jardim em acomodar esses pontos de forma que a distância entre quaisquer dois pontos seja sempre maior ou igual a 1 metro.

Como chegar na resposta

1. Identificamos as dimensões do jardim: 4 metros de largura e 5 metros de comprimento.
2. Dividimos o jardim em uma grade de quadrados de 1x1 metro. Isso nos dá uma visão de onde podemos colocar as mudas.
3. Observamos que as mudas devem ser colocadas nos vértices dos quadrados para maximizar o número, mantendo a distância mínima de 1 metro.
4. Contamos o número de vértices disponíveis. Em uma grade de 4x5, existem 5 colunas e 4 linhas, mas precisamos considerar que os vértices externos também contam. No entanto, olhando para a disposição, podemos ver que o número máximo de pontos que podem ser colocados sem se tocarem é 9.
5. Verificamos que a alternativa C (9) corresponde ao número máximo de mudas que podem ser plantadas, de acordo com a análise da grade.

Por que cada alternativa

• A4: Esta alternativa está incorreta porque o número 4 é muito baixo para o espaço disponível. É possível colocar mais de 4 mudas sem violar a regra de distância.
• B8: Embora seja uma opção válida, o número máximo é na verdade 9. A alternativa B está próxima, mas não é a resposta correta.
• C9: Esta é a alternativa correta. A análise da grade mostra que 9 mudas podem ser colocadas nos vértices dos quadrados de 1x1 metro, respeitando a distância mínima de 1 metro entre elas.
• D12: Esta alternativa está incorreta. Não é possível colocar 12 mudas no espaço de 4x5 metros sem que algumas delas fiquem a menos de 1 metro de distância uma da outra.
• E20: Esta alternativa está incorreta. O número 20 é muito alto para o espaço disponível. A densidade de plantação seria muito grande, violando a regra de distância mínima.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha desta questão está na interpretação da disposição das mudas. Muitas pessoas podem olhar para o retângulo e pensar em colocar as mudas em uma grade regular, mas esquecem que elas devem estar nos vértices dos quadrados de 1x1 metro. Além disso, é fácil subestimar ou superestimar o número máximo, especialmente se não se desenhar a grade corretamente. A resposta correta (9) é encontrada ao contar cuidadosamente os vértices disponíveis na grade de 4x5.

O que estudar se você errou

Para revisar este problema, é importante praticar o desenho de grades em retângulos e contar os vértices. Também é útil lembrar que, em problemas de otimização de espaço com restrições de distância, geralmente é melhor pensar em termos de uma matriz de pontos do que em linhas contínuas. A prática de resolver problemas de geometria plana e combinatória ajudará a melhorar a habilidade de resolver questões como esta.