Questão 147 do ENEM 2014

Como resolver a questão 147 passo a passo?

O conceito que resolve

Triângulos com lados inteiros precisam satisfazer a desigualdade triangular: cada lado é menor que a soma dos outros dois, ou seja, menor que a metade do perímetro.

Como chegar na resposta

1. Se um lado é 6, os outros dois somam 17 − 6 = 11.
2. Cada lado deve ser menor que 17 ÷ 2 = 8,5, logo no máximo 8; o outro lado, então, é pelo menos 11 − 8 = 3.
3. Pares (p, q) com p ≤ q, p + q = 11 e q ≤ 8: (3, 8), (4, 7) e (5, 6).
4. Os triângulos são {6, 3, 8}, {6, 4, 7} e {6, 5, 6}, todos válidos; são 3 triângulos.

Por que cada alternativa

• ACorreta: apenas 3 triângulos satisfazem a soma 17 e a desigualdade triangular.
• BContar 5 inclui pares como (2, 9) e (1, 10), que violam a desigualdade triangular.
• CContar 6 aceita pares impossíveis, como (1, 10), (2, 9) e (11, 0).
• DContar 8 ignora a restrição de que cada lado seja menor que 8,5.
• EContar 10 considera todos os pares de soma 11 sem aplicar a desigualdade triangular.

Onde essa questão derruba a maioria

Listar todos os pares de soma 11 dá mais opções, mas só valem os que respeitam a desigualdade triangular (lado maior menor que a soma dos outros dois).

O que estudar se você errou

Revise desigualdade triangular e contagem de triângulos de lados inteiros.