ENEM 2014 · Matemática
Questão 146 do ENEM 2014
Resposta: letra E. Um número N = 2^x · 5^y · 7^z é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7; pede-se a quantidade de divisores de N diferentes do próprio N.
Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x ⋅ 5y ⋅ 7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
- AX. y. z
- B(x+ 1).(y + 1)
- CX . y . z - 1
- D(x + 1).(y + 1).z
- E(x + 1).(y + 1).(z + 1) - 1Resposta correta
Como resolver a questão 146 passo a passo?
O conceito que resolve
Se N = p^a · q^b · r^c (primos distintos), o número de divisores positivos é (a + 1)(b + 1)(c + 1). Um número não múltiplo de 7 tem expoente 0 de 7.
Como chegar na resposta
- N é múltiplo de 10 (tem 2 e 5), então x ≥ 1 e y ≥ 1; N não é múltiplo de 7, então z = 0.
- O número de divisores positivos de N é (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x + 1)(y + 1), pois z + 1 = 1.
- Excluindo o próprio N, restam (x + 1)(y + 1)(z + 1) − 1 divisores.
Por que cada alternativa
- Ax·y·z daria zero, pois z = 0, e não conta os divisores.
- B(x + 1)(y + 1) conta todos os divisores, inclusive o próprio N: falta subtrair 1.
- Cx·y·z − 1 seria −1, que não faz sentido.
- D(x + 1)(y + 1)·z seria zero, já que z = 0.
- ECorreta: (x + 1)(y + 1)(z + 1) − 1, que com z = 0 é (x + 1)(y + 1) − 1.
Onde essa questão derruba a maioria
O enunciado pede os divisores diferentes de N: é preciso subtrair 1 do total.
O que estudar se você errou
Revise decomposição em fatores primos e contagem de divisores.
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