ENEM 2013 · Matemática · geometria
Questão 179 do ENEM 2013
Resposta: letra C. Dois postes de 6 m e 4 m são ligados por cabos cruzados AD e BC, e uma haste EF vertical sai do cruzamento até o solo; pede-se o comprimento de EF.
O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
C A F D B Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
- A1 m
- B2 m
- C2,4 mResposta correta
- D3 m
- E2 6 m
Como resolver a questão 179 passo a passo?
O conceito que resolve
Pela semelhança de triângulos, a altura do ponto de cruzamento de dois cabos entre postes de alturas a e b é (a·b)/(a + b), independentemente da distância entre eles.
Como chegar na resposta
- Os triângulos AEF e ADB (e BEF e BCA) são semelhantes: EF/6 = AF/AB e EF/4 = FB/AB.
- Somando: EF/6 + EF/4 = (AF + FB)/AB = 1, então EF · (1/6 + 1/4) = 1.
- EF = 1 ÷ (5/12) = 12/5 = 2,4 m.
Por que cada alternativa
- A1 m não satisfaz a relação: 1/6 + 1/4 = 5/12, e não 1.
- B2 m daria 2/6 + 2/4 = 5/6, menor que 1.
- CCorreta: EF = (6 · 4) ÷ (6 + 4) = 2,4 m.
- D3 m dá 3/6 + 3/4 = 1,25, maior que 1: é a média simples, e não a pedida.
- E2√6 ≈ 4,9 m é a média geométrica de 6 e 4, e supera o poste de 4 m: impossível.
Onde essa questão derruba a maioria
A média aritmética (5) e a geométrica (≈ 4,9) são tentadoras, mas o comprimento da haste é a média harmônica dividida por 2: (a·b)/(a + b).
O que estudar se você errou
Revise semelhança de triângulos e proporções em figuras com cabos cruzados.
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