Questão 166 do ENEM 2013

Como resolver a questão 166 passo a passo?

O conceito que resolve

O decaimento radioativo segue a lei exponencial: M(t) = M₀ * (1/2)^(t/T), onde M(t) é a massa em tempo t, M₀ é a massa inicial, T é a meia-vida (30 anos para o césio-137) e t é o tempo buscado. Queremos M(t) = 10% de M₀, ou seja, M(t)/M₀ = 0,1. Transformamos a equação em logarítmica para resolver t, usando a aproximação log10(2) ≈ 0,3 para simplificar os cálculos. O erro comum é confundir redução a 10% com redução a 50% (meia-vida) ou usar a fórmula errada de decaimento.

Como chegar na resposta

1. Escreva a equação do decaimento: 0,1 = (1/2)^(t/30). Isso porque queremos que a massa seja 10% da inicial em tempo t, com meia-vida T = 30 anos.
2. Tome o logaritmo (base 10) dos dois lados: log(0,1) = (t/30) * log(1/2). Como log(1/2) = -log(2), fica: log(0,1) = -(t/30) * log(2).
3. Sabendo que log(0,1) = -1 e log(2) ≈ 0,3 (aproximação dada), substitua: -1 = -(t/30) * 0,3. Simplifique: 1 = (t/30) * 0,3.
4. Resolva para t: t/30 = 1 / 0,3 → t/30 ≈ 3,33 → t ≈ 3,33 * 30 → t ≈ 100 anos.
5. Verifique se a alternativa mais próxima é a correta. Aqui, 100 anos é uma das opções (alternativa E), mas precisamos confirmar se a aproximação log10(2) ≈ 0,3 é suficiente para justificar essa resposta ou se há um erro de cálculo.

Por que cada alternativa

• A27 anos: erro de cálculo por ignorar que 10% é menor que 50% (meia-vida). Alguém pode pensar que, como 50% leva 30 anos, 10% levaria menos, mas a redução exponencial é mais acentuada. Além disso, pode ter usado a fórmula errada, como M(t) = M₀ * (0,1)^(t/T), invertendo a base.
• B36 anos: erro de aproximação incorreta. Alguém pode ter usado log(2) ≈ 0,5 (valor mais intuitivo, mas errado) e feito: 1 = (t/30) * 0,5 → t = 60 anos, mas como 60 não está na lista, pode ter dividido por 2 ou feito outra conta errada para chegar a 36.
• C50 anos: erro de leitura do texto ou confusão entre redução a 10% e redução a 1/√2 (≈70,7%). Alguém pode ter pensado que 10% é próximo de 50% ou usado a meia-vida como referência direta sem cálculos. Também pode ter usado a fórmula M(t) = M₀ * (0,5)^(t/30) e resolvido para 50% ao invés de 10%.
• D54 anos: erro de cálculo com log(2) ≈ 0,33 (valor mais próximo de log10(2) ≈ 0,3010). Alguém pode ter usado uma aproximação mais precisa, como 0,33, e feito: 1 = (t/30) * 0,33 → t ≈ 90 anos, mas como 90 não está na lista, pode ter feito uma aproximação ainda mais grosseira ou dividido por 1,6 para chegar a 54.
• E100 anos: alternativa correta. O cálculo com log10(2) ≈ 0,3 leva a t ≈ 100 anos, como mostrado nos passos. A aproximação dada no texto é suficiente para justificar essa resposta, pois 0,3 é uma aproximação razoável para log10(2) e o resultado se alinha com a alternativa.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha está na aproximação do log10(2) ≈ 0,3, que é um pouco menor que o valor real (≈ 0,3010). Isso faz com que o cálculo fique um pouco mais aproximado, mas ainda assim, com essa aproximação, o resultado mais próximo é 100 anos.

O que estudar se você errou

Reveja a fórmula do decaimento exponencial e como os logaritmos são usados para resolver equações exponenciais. Pratique cálculos com aproximações de logaritmos para entender como pequenas variações afetam o resultado.