ENEM 2013 · Matemática
Questão 165 do ENEM 2013
Resposta: letra B. Um artesão faz joias em molde de losango (não quadrado) com pedras de três cores nos vértices, com vértices consecutivos de cores diferentes; pede-se quantas joias diferentes ele obtém.
Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
- A6
- B12Resposta correta
- C18
- D24
- E36
Como resolver a questão 165 passo a passo?
O conceito que resolve
Contam-se as colorações com cores diferentes em vértices vizinhos e depois se descontam as repetidas por simetria: joias que coincidem por giro de 180° ou por reflexão nas diagonais são a mesma peça (o losango não é quadrado, então não há giro de 90°).
Como chegar na resposta
- Colorações de um ciclo de 4 vértices com 3 cores, sem vizinhos iguais: (3 − 1)⁴ + (3 − 1) = 18.
- As simetrias do losango (identidade, giro de 180° e as duas reflexões nas diagonais) agrupam colorações equivalentes.
- Pelo lema de Burnside: (18 + 6 + 12 + 12) ÷ 4 = 12 joias diferentes.
Por que cada alternativa
- A6 seria o resultado de contar mais simetrias do que as que o losango tem.
- BCorreta: 18 colorações agrupadas pelas 4 simetrias do losango resultam em 12 joias.
- C18 é o total de colorações antes de descontar as repetidas por simetria.
- D24 não corresponde à contagem de colorações válidas.
- E36 é o número de colorações sem restrição de vizinhos iguais: 3 × 3 × 2 × 2, sem a condição do enunciado.
Onde essa questão derruba a maioria
O total de colorações (18) está entre as alternativas, mas peças que se sobrepõem por giro ou reflexão contam como uma só.
O que estudar se você errou
Revise análise combinatória com restrições e contagem de configurações equivalentes por simetria.
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