ENEM 2013 · Matemática · geometria
Questão 141 do ENEM 2013
Resposta: letra C. Três canos iguais de raio 30 cm, soldados entre si, ficam dentro de um cano maior com folga de 10 cm; pede-se o raio R do cano maior.
Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior.
Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:
O valor de R, em centímetros, é igual a
- A64,0.
- B65,5.
- C74,0.Resposta correta
- D81,0.
- E91,0.
Como resolver a questão 141 passo a passo?
O conceito que resolve
Os centros de três círculos iguais e tangentes formam um triângulo equilátero de lado igual a duas vezes o raio. A distância do centro do conjunto a cada vértice (raio da circunferência circunscrita) é lado × √3 ÷ 3.
Como chegar na resposta
- Lado do triângulo equilátero dos centros: 2 × 30 = 60 cm.
- Distância do centro do conjunto a um centro de cano: 60 × √3 ÷ 3 = 60 × 1,7 ÷ 3 = 34 cm.
- R = 34 + 30 (raio do cano) + 10 (folga) = 74 cm.
Por que cada alternativa
- A64,0 cm esquece parte da distância ou da folga.
- B65,5 cm resulta de errar o cálculo do raio circunscrito.
- CCorreta: R = 34 + 30 + 10 = 74 cm.
- D81,0 cm viria de usar o lado 60 e somar 21, sem base geométrica.
- E91,0 cm viria de somar 60 + 30 + 1, ignorando a geometria do triângulo.
Onde essa questão derruba a maioria
O raio do cano é a distância do centro aos centros dos tubos (34) mais o raio do tubo (30) mais a folga (10); somar só 30 + 10 não basta.
O que estudar se você errou
Revise triângulo equilátero, raio da circunferência circunscrita e circunferências tangentes.
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