ENEM 2013 · Matemática
Questão 138 do ENEM 2013
Resposta: letra A. Uma senha passa de 6 algarismos (0 a 9) para 6 caracteres entre algarismos e letras maiúsculas e minúsculas; pede-se o coeficiente de melhora, razão entre o novo e o antigo número de senhas.
Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:
- A
Resposta correta - B
- C
- D
- E
Como resolver a questão 138 passo a passo?
O conceito que resolve
Princípio multiplicativo: com n símbolos possíveis em cada uma de 6 posições, o número de senhas é n⁶ (repetição permitida).
Como chegar na resposta
- Sistema antigo: 10 algarismos em cada posição, 10⁶ senhas.
- Sistema novo: 10 algarismos + 26 maiúsculas + 26 minúsculas = 62 símbolos, 62⁶ senhas.
- Coeficiente = 62⁶ ÷ 10⁶.
Por que cada alternativa
- ACorreta: 62⁶ senhas novas divididas por 10⁶ senhas antigas, isto é, 62⁶/10⁶.
- B62!/10! seria o número de arranjos sem repetição de símbolos, e a senha pode repetir símbolos.
- CA razão com 4! e 56! em fatoriais não decorre do problema, que usa potências.
- DA diferença 62! − 10! não é a razão pedida e também usa fatoriais, que não se aplicam.
- E62⁶ − 10⁶ é a diferença entre as quantidades, e o coeficiente é a razão entre elas.
Onde essa questão derruba a maioria
'Razão' pede divisão, e não subtração; e as senhas podem repetir símbolos, então a contagem é com potências, e não com fatoriais.
O que estudar se você errou
Revise princípio multiplicativo e arranjos com repetição.
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