ENEM 2012 · Matemática · geometria
Questão 160 do ENEM 2012
Resposta: letra B. Cálculo do custo total de um vitral composto por duas áreas distintas com preços diferentes por metro quadrado.
Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
A B C D Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
- AR$ 22,50
- BR$ 35,00Resposta correta
- CR$ 40,00
- DR$ 42,50
- ER$ 45,00
Como resolver a questão 160 passo a passo?
O conceito que resolve
Geometria plana para cálculo de áreas de figuras compostas e aplicação de proporções para determinar a área sombreada e a área clara.
Como chegar na resposta
- Considere o lado do quadrado como L = 1 m² para facilitar o cálculo.
- Calcule a área total do quadrado: Área_total = 1 m * 1 m = 1 m².
- Determine a área das regiões claras (triângulos ABPDA e BCDQB): a base de cada triângulo é o lado do quadrado (1 m) e a altura é 1/4 m, pois AP = 1/4 m e PC = 3/4 m, mas o enunciado diz que AP e QC são 1/4 do lado. A base do triângulo superior é o segmento AC que mede 1 m. A altura de cada triângulo branco é 1/4 m.
- A área da parte clara é composta por dois triângulos grandes (ABP e BCD) e dois menores (PQC e etc). Na verdade, a área clara é a soma de dois triângulos: ABP e BCD. Não, olhe a figura. A área clara são os triângulos laterais. A área de cada triângulo branco é (base * altura)/2. A base é o lado do quadrado (1 m) e a altura é 1/4 m. Área_clara = 2 * (1 * 1/4 / 2) = 1/4 m².
- A área sombreada é o restante: Área_sombreada = 1 m² - 1/4 m² = 3/4 m².
- Calcule o custo: Custo = (3/4 m² * 30,00) + (1/4 m² * 50,00) = 22,50 + 12,50 = 35,00.
Por que cada alternativa
- AO valor de 22,50 resulta de calcular apenas o custo da parte sombreada sem considerar a parte clara.
- BO valor de 35,00 é o resultado correto ao somar os custos das duas áreas calculadas proporcionalmente.
- CO valor de 40,00 ocorre se você confundir a altura da das regiões claras com 1/2 do lado, assumindo que os triângulos triângulos são maiores.
- DO valor de 42,50 surge se você inverter a ordem dos preços: aplicar 30,00 sobre a área sombreada e 50,00 sobre a parte clara, mas com áreas erradas.
- EO valor de 45,00 é obtido se você considerar que a área clara é 1/2 do quadrado, assumindo que os triângulos brancos ocupam asczia metade da figura.
Onde essa questão derruba a maioria
A principal armadilha é não identificar corretamente a altura dos triângulos brancos. O enunciado diz que AP e QC são 1/4 do lado, o que define a altura de cada região clara lateral em relação à base vertical do quadrado.
O que estudar se você errou
Verifique se você somou as duas áreas para garantir que totalizam 1 m² e se multiplicou cada área pelo seu respectivo preço unitário.
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