Questão 144 do ENEM 2012

Como resolver a questão 144 passo a passo?

O conceito que resolve

O problema aborda o princípio fundamental da contagem, que permite calcular o número total de combinações possíveis quando se tem escolhas independentes. Aqui, temos três categorias: objetos (5), personagens (6) e cômodos (9). Para cada objeto escondido por um personagem em um cômodo, temos uma combinação única. Além disso, o problema usa o princípio da casa dos pombos (ou princípio da inclusão-exaustão), que garante que, se o número de tentativas (alunos) for maior que o número de possibilidades, pelo menos uma tentativa deve ser correta.

Como chegar na resposta

1. Calcular o número total de respostas distintas possíveis: Como as escolhas são independentes (objeto, personagem e cômodo), multiplicamos as quantidades: 5 (objetos) × 6 (personagens) × 9 (cômodos). Isso dá o total de combinações únicas possíveis: 5 × 6 × 9 = 270.
2. Comparar o número de alunos com o número de combinações: Há 280 alunos participando. Como 280 > 270, pelo menos um aluno deve acertar a resposta, pois o número de tentativas excede o número de possibilidades.
3. Calcular a diferença entre alunos e combinações: 280 (alunos) – 270 (combinações) = 10. Isso significa que há 10 alunos a mais do que o número de respostas distintas possíveis.
4. Identificar a alternativa que corresponde a essa diferença: A alternativa que indica 10 alunos a mais do que as respostas possíveis é a correta.

Por que cada alternativa

• A10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas: Esta alternativa está correta porque a diferença entre 280 alunos e 270 combinações possíveis é exatamente 10. O diretor sabe que algum aluno acertará porque o excesso de participantes garante que pelo menos uma resposta correta exista.
• B20 alunos a mais: Erro de cálculo ou leitura apressada. Alguém pode ter somado incorretamente (por exemplo, 5 + 6 + 9 = 20 e subtraído de 280) ou confundido o número de combinações. A soma simples dos elementos não representa o produto das possibilidades.
• C119 alunos a mais: Erro grave de interpretação. Pode ser resultado de multiplicar errado (por exemplo, 5 × 6 = 30 e depois 30 × 9 = 270, mas alguém pode ter feito 5 × 6 × 4 = 120 e subtraído de 280) ou de confundir o número de cômodos ou objetos.
• D10 = 270 e, por distração, escrito 280 - 20 = 260, ou confundido a diferença com o número total de combinações.
• E270 alunos a mais: Confusão entre o número de combinações e a diferença. Alguém pode ter lido o número de combinações (270) e pensado que a diferença era igual a ele, ignorando completamente o número de alunos (280). Também pode ser resultado de não calcular a diferença, apenas repetir o número de combinações.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha está em fazer o estudante confundir a multiplicação das possibilidades (5 × 6 × 9) com a soma dos elementos (5 + 6 + 9). Muitos podem pensar que basta somar os números dados para encontrar o total de combinações, o que levaria a uma resposta errada. Além disso, a alternativa E tenta confundir ao repetir o número de combinações (270) como se fosse a diferença, não o total.

O que estudar se você errou

Para evitar erros, revise sempre o princípio fundamental da contagem: quando há escolhas independentes, multiplica-se as quantidades. Não some os elementos! Também lembre-se de que o problema pede a diferença entre alunos e combinações, não o número de combinações em si. Faça a conta passo a passo e confira os resultados.