ENEM 2011 · Matemática · geometria
Questão 155 do ENEM 2011
Resposta: letra B. Um barco vê um ponto fixo P da praia sob o ângulo α = 30° em A e sob 2α em B, depois de percorrer AB = 2 000 m; pede-se a menor distância do barco a P mantendo a trajetória.
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m.
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
- A1 000 m.
- B1 000 √3 m.Resposta correta
- C2 000 √3/3 m.
- D2 000 m
- E2 000 √3 m.
Como resolver a questão 155 passo a passo?
O conceito que resolve
O ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois internos não adjacentes. A menor distância de um ponto a uma reta é o segmento perpendicular a ela.
Como chegar na resposta
- O ângulo de 2α = 60° em B é externo ao triângulo ABP: 60° = 30° (em A) + ângulo em P, logo o ângulo em P é 30°.
- Triângulo ABP com ângulos de 30° em A e em P é isósceles: BP = AB = 2 000 m.
- A menor distância de P à trajetória é a altura h tal que sen 60° = h ÷ BP.
- h = 2 000 · (√3/2) = 1 000√3 m.
Por que cada alternativa
- A1 000 m seria a metade de AB, e não a distância perpendicular a P.
- BCorreta: h = BP · sen 60° = 2 000 · √3/2 = 1 000√3 m.
- C2 000√3/3 m vem de usar tan 30° no lugar do triângulo correto.
- D2 000 m é a medida de BP (a distância até B), e não a menor distância à trajetória.
- E2 000√3 m resulta de multiplicar por √3 sem o fator 1/2 do seno de 60°.
Onde essa questão derruba a maioria
BP vale 2 000 m, igual ao deslocamento AB, mas a menor distância é a altura perpendicular, que vale 2 000 · sen 60°.
O que estudar se você errou
Revise ângulo externo, triângulo isósceles e razões trigonométricas.
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