ENEM 2011 · Matemática · geometria
Questão 150 do ENEM 2011
Resposta: letra B. No plano cartesiano, a linha do metrô é a reta y = x + 4; pede-se qual estação prevista (um ponto da reta) está a no máximo 5 km do hospital em P(−5, 5).
Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade.
No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto
- A(–5, 0).
- B(–3, 1).Resposta correta
- C(–2, 1).
- D(0, 4).
- E(2, 6).
Como resolver a questão 150 passo a passo?
O conceito que resolve
Um ponto pertence à reta se suas coordenadas satisfazem a equação. A distância entre dois pontos é √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²], e a condição é distância ≤ 5.
Como chegar na resposta
- Pontos na reta y = x + 4: (−3, 1) [1 = −3 + 4], (0, 4) e (2, 6). Os pontos (−5, 0) e (−2, 1) não estão na reta.
- Distância de P(−5, 5) a (−3, 1): √(2² + 4²) = √20 ≈ 4,5 km, menor que 5.
- Para (0, 4): √(5² + 1²) = √26 ≈ 5,1, e para (2, 6): √(7² + 1²) = √50 ≈ 7,1; ambas passam de 5 km.
Por que cada alternativa
- A(−5, 0) não está na reta (para x = −5, y = −1), logo não é estação.
- BCorreta: (−3, 1) está na reta e dista √20 ≈ 4,5 km do hospital.
- C(−2, 1) não está na reta (para x = −2, y = 2).
- D(0, 4) está na reta, mas dista √26 ≈ 5,1 km do hospital, mais que 5 km.
- E(2, 6) está na reta, mas a distância é √50 ≈ 7,1 km.
Onde essa questão derruba a maioria
Dois critérios: o ponto precisa estar na reta e a distância precisa ser ≤ 5; o ponto (−5, 0) está perto do hospital, mas fora da reta.
O que estudar se você errou
Revise equação da reta, pertinência de ponto à reta e distância entre dois pontos.
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