ENEM 2011 · Matemática · geometria
Questão 144 do ENEM 2011
Resposta: letra E. Uma pirâmide de base ABCD e vértice O (centro da face superior) é obtida de um cubo por quatro cortes sucessivos, em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem; pede-se o formato dos sólidos descartados.
Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo.
Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.
Os formatos dos sólidos descartados são
- ATodos iguais.
- BTodos diferentes.
- CTrês iguais e um diferente.
- DApenas dois iguais.
- EIguais dois a dois.Resposta correta
Como resolver a questão 144 passo a passo?
O conceito que resolve
A ordem dos cortes importa: os dois primeiros removem cunhas inteiras; os dois últimos removem só o que sobrou nas outras duas faces. Por simetria, peças geradas de modo equivalente são congruentes.
Como chegar na resposta
- Os dois primeiros cortes (planos que passam por O e pelas arestas AD e BC) retiram dois prismas triangulares iguais, cada um com volume de 1/4 do cubo.
- Os cortes seguintes (O e as arestas AB e CD) retiram o que resta das duas outras cunhas, depois que os prismas já saíram; essas duas peças também são iguais entre si, mas bem menores (cada uma com 1/12 do volume do cubo).
- Verificação: o volume da pirâmide é 1/3 do cubo; 1 − 1/3 = 2/3 = 1/4 + 1/4 + 1/12 + 1/12.
- Há, portanto, dois sólidos de um tipo e dois de outro: iguais dois a dois.
Por que cada alternativa
- AOs quatro sólidos não são iguais: os dois primeiros são prismas, e os dois últimos são pirâmides menores.
- BEles não são todos diferentes: os dois primeiros são iguais entre si, e os dois últimos também.
- CNão há três iguais e um diferente: as peças formam dois pares congruentes.
- DNão são só dois iguais: cada peça tem uma congruente por simetria.
- ECorreta: os dois primeiros sólidos são iguais entre si e os dois últimos também, formando dois pares.
Onde essa questão derruba a maioria
A figura sugere simetria total de 90° e leva a marcar 'todos iguais', mas a expressão 'nessa ordem' faz as peças dos dois últimos cortes diferirem das dos dois primeiros.
O que estudar se você errou
Revise seções de sólidos por planos e comparação de volumes de pirâmides e prismas.
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