ENEM 2010 · Matemática
Questão 173 do ENEM 2010
Resposta: letra B. João precisa examinar todas as rotas que passam pelos cinco clientes e voltam à cidade A; pede-se o tempo total, sabendo que cada exame descarta também a rota simétrica.
João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de
- A60 min.
- B90 min.Resposta correta
- C120 min.
- D180 min.
- E360 min.
Como resolver a questão 173 passo a passo?
O conceito que resolve
O número de sequências possíveis é um problema de permutação: com a cidade A fixa no início e no fim, cada ordem das 5 cidades restantes é um trajeto diferente, e há 5! = 120 delas. Cada trajeto e o seu inverso têm o mesmo custo.
Como chegar na resposta
- Fixada a cidade A como partida e chegada, as outras 5 cidades podem ser visitadas em 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 ordens diferentes.
- Cada sequência é equivalente à sua simétrica (por exemplo ABCDEFA e AFEDCBA), então bastam 120 ÷ 2 = 60 exames.
- Cada exame leva 1 min 30 s = 1,5 min, e o tempo total é 60 × 1,5 = 90 minutos.
Por que cada alternativa
- A60 min seria 60 exames de 1 minuto: o tempo de cada exame (1 min 30 s) foi ignorado.
- BCorreta: 60 pares de sequências examinados, 1,5 min cada, dão 90 minutos.
- C120 min corresponderia a 120 exames de 1 min, ou a ignorar que a simétrica já é descartada junto.
- D180 min resulta de examinar as 120 sequências sem descartar as simétricas e ainda errar o tempo por exame.
- E360 min vem de usar 6! = 720 sequências (contando a cidade A como se fosse permutável), dividir por 2 e multiplicar por 1 min.
Onde essa questão derruba a maioria
A cidade A fica fixa no começo e no fim; permutar as seis cidades daria 720 trajetos, número que não corresponde ao enunciado.
O que estudar se você errou
Revise permutação simples (fatorial) e o cuidado de dividir por 2 quando dois arranjos são equivalentes.
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