ENEM 2010 · Matemática
Questão 168 do ENEM 2010
Resposta: letra B. Uma taça hemisférica cheia deve ter o mesmo volume de champanhe que uma taça cônica de mesmo raio; pede-se a altura do líquido no cone.
Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
- A1,33.
- B6,00.Resposta correta
- C12,00.
- D56,52.
- E113,04.
Como resolver a questão 168 passo a passo?
O conceito que resolve
O volume de um hemisfério de raio R é (2/3)πR³; o de um cone é (1/3)πR²h. Igualando os volumes, calcula-se a altura h do líquido.
Como chegar na resposta
- Hemisfério com R = 3 cm: V = (2/3) · π · 27 = 18π cm³.
- Cone com o mesmo raio da superfície do líquido: V = (1/3) · π · 3² · h = 3πh.
- Igualando: 3πh = 18π, logo h = 6 cm.
Por que cada alternativa
- A1,33 vem de usar fórmulas trocadas ou de dividir erroneamente os volumes.
- BCorreta: 3πh = 18π dá h = 6 cm.
- C12 cm resulta de esquecer o fator 2/3 do hemisfério, usando V = (4/3)πR³ e não a metade, ou de dobrar a altura.
- D56,52 é 18π numericamente (com π = 3,14), isto é, o volume, não a altura.
- E113,04 é o volume de uma esfera inteira de raio 3 (36π), e não uma altura.
Onde essa questão derruba a maioria
56,52 aparece como alternativa porque 18π ≈ 56,52 é o volume; o enunciado pede a altura, em cm.
O que estudar se você errou
Revise volumes de esfera, hemisfério e cone, e a igualdade de volumes.
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