Questão 164 do ENEM 2010

Como resolver a questão 164 passo a passo?

O conceito que resolve

A circunferência tangente aos três lados de um triângulo é a inscrita, e seu raio é a razão entre a área do triângulo e o semiperímetro. Num triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, o raio inscrito é (a + b − c)/2.

Como chegar na resposta

1. Os lados 6, 8 e 10 formam um triângulo retângulo, pois 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
2. A área é 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm² e o semiperímetro é (6 + 8 + 10) ÷ 2 = 12 cm.
3. O raio da circunferência inscrita é r = 24 ÷ 12 = 2 cm (conferindo: (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2).

Por que cada alternativa

• A1 cm é a metade do valor correto, resultado de dividir a área pelo perímetro (24 ÷ 24) em vez de pelo semiperímetro.
• BCorreta: r = área ÷ semiperímetro = 24 ÷ 12 = 2 cm, igual a (6 + 8 − 10) ÷ 2.
• C3 cm seria metade do cateto menor: não há relação com a tangência às três faces do prisma.
• D4 cm é metade do cateto maior; a circunferência de raio 4 não caberia no triângulo, pois passaria dos lados.
• E5 cm é metade da hipotenusa, que é o raio da circunferência circunscrita, não da inscrita.

Onde essa questão derruba a maioria

A circunferência circunscrita (raio 5 cm, metade da hipotenusa) é a mais conhecida num triângulo retângulo, mas aqui a perfuração fica dentro do prisma, tangente às faces: é a inscrita.

O que estudar se você errou

Revise circunferência inscrita e circunscrita num triângulo, triângulo retângulo e cálculo de área e semiperímetro.