ENEM 2010 · Matemática
Questão 161 do ENEM 2010
Resposta: letra E. Dado um triângulo retângulo ABC com os pontos médios dos lados marcados, a questão compara a área do trapézio ABMN com a de outras regiões da figura.
Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
- AÀ mesma área do triângulo AMC.
- BÀ mesma área do triângulo BNC.
- CÀ metade da área formada pelo triângulo ABC.
- DAo dobro da área do triângulo MNC.
- EAo triplo da área do triângulo MNC.Resposta correta
Como resolver a questão 161 passo a passo?
O conceito que resolve
O segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade dele. O triângulo menor formado é semelhante ao original, com razão de semelhança 1/2 e, portanto, razão de áreas 1/4.
Como chegar na resposta
- M e N são pontos médios de BC e AC, então o triângulo MNC é semelhante a ABC com razão 1/2, e sua área é 1/4 da área de ABC.
- A região A-B-M-N é o triângulo ABC sem o triângulo MNC: sua área é 1 − 1/4 = 3/4 da área de ABC.
- Como a área de MNC é 1/4 da de ABC, a região pedida vale 3/4 ÷ 1/4 = 3 vezes a área de MNC.
Por que cada alternativa
- AO triângulo AMC tem área metade de ABC (M é ponto médio da hipotenusa, que divide o triângulo em dois de mesma área), e a região pedida é 3/4: a comparação não fecha.
- BO triângulo BNC também tem a metade da área de ABC, por N ser ponto médio de AC, e portanto não coincide com os 3/4 da região.
- CA região vale 3/4 da área de ABC, não 1/2: quem marca esta confundiu o trapézio com um dos triângulos de meia área.
- DO dobro da área de MNC seria 2/4 = 1/2 de ABC, valor menor que os 3/4 da região.
- ECorreta: a região é 3/4 da área de ABC e MNC é 1/4, logo a razão entre elas é 3, o triplo.
Onde essa questão derruba a maioria
Sem notar a semelhança, muita gente acha que a área é a metade porque 'M e N dividem os lados ao meio'; a razão de áreas é o quadrado da razão de lados.
O que estudar se você errou
Revise base média de triângulo, semelhança de triângulos e razão entre áreas de figuras semelhantes.
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