ENEM 2010 · Matemática
Questão 160 do ENEM 2010
Resposta: letra C. A questão pede a altura de um balão a partir de dois ângulos de visada, medidos por duas pessoas alinhadas com a vertical do balão.
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
- A1,8 km
- B1,9 km
- C3,1 kmResposta correta
- D3,7 km
- E5,5 km
Como resolver a questão 160 passo a passo?
O conceito que resolve
Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Aqui o cateto oposto é a altura h do balão e o adjacente é a distância horizontal até a vertical dele.
Como chegar na resposta
- Pela primeira pessoa: ela está a 1,8 km da vertical do balão e o vê sob 60°, logo tg 60° = h / 1,8.
- Como tg 60° = √3 ≈ 1,73, resulta h = 1,8 × 1,73 ≈ 3,1 km.
- Conferindo pela segunda pessoa, a 5,5 km e com 30°: h = 5,5 × tg 30° = 5,5 × 0,577 ≈ 3,2 km, valor coerente com o anterior, dentro da aproximação.
Por que cada alternativa
- A1,8 km é a distância horizontal da primeira pessoa até a vertical do balão, não a altura: quem escolhe esta confundiu o cateto adjacente com o oposto.
- B1,9 km sai de dividir 1,8 por √3 (ou usar tg 30° com 1,8): a tangente foi aplicada com o ângulo trocado.
- CCorreta: h = 1,8 · tg 60° ≈ 3,1 km, e a segunda pessoa confirma o valor, pois 5,5 · tg 30° também dá cerca de 3,2 km.
- D3,7 km é a distância entre as duas pessoas, lida na figura, e não tem relação com a altura do balão.
- E5,5 km é a distância da segunda pessoa até a vertical do balão: de novo um cateto adjacente tomado como altura.
Onde essa questão derruba a maioria
A figura mostra três medidas horizontais (1,8 km, 3,7 km e 5,5 km), e as três aparecem como alternativas; só a tangente leva à altura.
O que estudar se você errou
Revise razões trigonométricas no triângulo retângulo e os valores de seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 60°.
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