Questão 177 do ENEM 2009

Como resolver a questão 177 passo a passo?

O conceito que resolve

A interseção de um plano com um poliedro convexo gera um polígono cujos lados correspondem aos segmentos de reta obtidos ao cortar cada face encontrada pelo plano; portanto, o número de lados da seção é igual ao número de faces que o plano realmente atravessa.

Como chegar na resposta

1. Identificar que a pirâmide de base quadrada possui 5 faces (1 base quadrada + 4 faces triangulares).
2. Lembrar que o corte de um plano em cada face produz um segmento de reta (desde que o plano não passe por vértices).
3. Se o plano intersectar todas as cinco faces, obteremos cinco segmentos que se conectam em ordem, formando um polígono de cinco lados.
4. Concluir que é possível obter uma face pentagonal na peça resultante.

Por que cada alternativa

• AA está errada porque considera apenas as 4 arestas laterais da pirâmide, ignorando que o plano também pode cortar as arestas da base; assim conclui-se incorretamente que o polígono tem 4 lados.
• BB está errada ao afirmar que o plano divide cada face triangular em um triângulo e um trapézio; na realidade a interseção produz um único polígono, não uma divisão de cada face, levando à conclusão equivocada de 4 lados.
• CC está correta: a pirâmide tem 5 faces e, se o plano intersectar todas elas, cada face contribui com um segmento de reta na seção; esses cinco segmentos formam um polígono de cinco lados, justificando a possibilidade de uma face pentagonal.
• DD está errada ao generalizar que o número de lados da seção sempre equals o número total de faces da pirâmide (5); um plano paralelo à base, por exemplo, gera um quadrilateral, mostrando que a contagem depende das faces realmente cortadas.
• EE está errada ao afirmar que o número de lados da seção sempre equals o número de arestas laterais (4); um plano que corta a base e algumas faces laterais pode produzir mais de quatro lados, como o pentágono.

Onde essa questão derruba a maioria

A armadilha é pensar que o número de lados da seção é fixo e igual ao número total de faces ou de arestas laterais da pirâmide, quando na verdade depende de quais faces o plano realmente intersecta.

O que estudar se você errou

Verifique se o argumento considera a possibilidade de o plano intersectar todas as faces e se lembra que cada face contribuí com exatamente um segmento na seção; caso contrário, a contagem de lados estará incorreta.