ENEM 2009 · Matemática · geometria
Questão 169 do ENEM 2009
Resposta: letra D. A vazão é proporcional à área da seção transversal. Calculando a área do trapézio antes (25 m²) e depois (36 m²) da reforma, obtém‑se a razão 36/25 = 1,44. Como a velocidade permanece a mesma, Q₂ = 1,44·Q₁ = 1,44·1050 = 1512 m³/s, alternativa D.
A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m³/s. O cálculo da vazão, Q em m³/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m², pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
- A90 m³/s.
- B750 m³/s.
- C1.050 m³/s.
- D1.512 m³/s.Resposta correta
- E2.009 m³/s.
Como resolver a questão 169 passo a passo?
O conceito que resolve
Uso da fórmula da área do trapézio A = ((B + b)/2)·h e da relação de proporcionalidade Q = v·A, onde v é constante. Assim, a razão entre as vazões é igual à razão entre as áreas das seções transversais.
Como chegar na resposta
- Ler na figura I os valores: base menor b₁ = 4 m, base maior B₁ = 6 m e altura h₁ = 5 m.
- Ler na figura II os valores: base menor b₂ = 4 m, base maior B₂ = 8 m e altura h₂ = 6 m.
- Calcular a área inicial: A₁ = ((B₁ + b₁)/2)·h₁ = ((6 + 4)/2)·5 = 5·5 = 25 m².
- Calcular a área após a reforma: A₂ = ((B₂ + b₂)/2)·h₂ = ((8 + 4)/2)·6 = 6·6 = 36 m².
- Obter a razão das áreas: A₂/A₁ = 36/25 = 1,44.
- Aplicar a proporcionalidade da vazão: Q₂ = Q₁·(A₂/A₁) = 1050·1,44 = 1512 m³/s.
Por que cada alternativa
- AA alternativa A subestima a vazão porque considerou apenas a diferença entre as bases (B‑b) ao invés da soma, resultando em uma área muito pequena e, consequentemente, em 90 m³/s.
- BA alternativa B usou somente a razão das alturas (h₂/h₁ = 6/5) e ignorou a mudança nas bases, produzindo um fator de 1,2 em vez de 1,44, o que leva a 750 m³/s.
- CA alternativa C assume que a área da seção transversal não mudou, esquecendo que as dimensões da canaleta foram alteradas; por isso mantém Q = 1050 m³/s.
- DA alternativa D aplica corretamente a fórmula da área do trapézio para as duas situações, calcula a razão 36/25 = 1,44 e multiplica pela vazão original, obtendo 1512 m³/s.
- EA alternativa E combina indevidamente duas vezes a razão das bases com a razão das alturas, inflando o fator de correção e chegando a 2009 m³/s.
Onde essa questão derruba a maioria
Muitos confundem a fórmula do trapézio, usando (B‑b) em vez de (B+b) ou esquecem que a velocidade permanece constante, o que faz a vazão depender apenas da razão das áreas.
O que estudar se você errou
Revisar a fórmula da área do trapézio e praticar problemas de proporcionalidade onde apenas um dos fatores (velocidade ou área) varia.
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