Questão 161 do ENEM 2009

Como resolver a questão 161 passo a passo?

O conceito que resolve

Mediana de um conjunto de dados é o valor que separa a metade superior da metade inferior. Em um conjunto com número par de elementos, a mediana é a média dos dois valores centrais. A classificação da equipe depende de como a nova nota se insere na distribuição das notas existentes.

Como chegar na resposta

1. Identificar as notas atuais da equipe Gama: 10, 6.5, 8, 10, 7, 6.5, 7, 8, 6, 0. A mediana é calculada entre o 5º e o 6º valor (7 e 6.5), resultando em 6.75.
2. Analisar o impacto da presença do aluno ausente: Se ele obtivesse uma nota alta (por exemplo, 10), a mediana aumentaria, pois o valor central se deslocaria para cima. Se ele obtivesse uma nota baixa, a mediana poderia diminuir ou permanecer a mesma, dependendo do valor exato.
3. Comparar com as pontuações das outras equipes: A equipe Ômega tem 7.8 e a Delta tem 7.6. Para ganhar, a mediana da Gama precisa ser maior que 7.8. Para ficar em segundo, precisa ser maior que 7.6.
4. Avaliar cada alternativa: A) Se a nota fosse 0, a mediana não mudaria significativamente. B) Se fosse 10, a mediana subiria, mas não o suficiente para passar de 7.8. C) Se fosse 8, a mediana seria 7.5, ainda abaixo de 7.6. D) A equipe sempre ficaria em terceiro, pois mesmo com a nota máxima, não ultrapassaria 7.8. E) Se fosse 9, a mediana seria 7.5, não empatando com Ômega.
5. Concluir que a equipe Gama não poderia melhorar sua posição, independentemente da nota do aluno ausente, pois a melhor nota possível (10) ainda resultaria em uma mediana de 7.5, inferior às outras equipes.

Por que cada alternativa

• AA mediana atual é 6.75. Adicionar um 0 não muda a mediana, pois o 0 já está no conjunto. A afirmação de que a pontuação seria 6.5 é incorreta; a mediana real com o 0 presente é 6.75.
• BSe o aluno obtivesse 10, o conjunto seria: 10, 10, 10, 8, 8, 7, 7, 6.5, 6.5, 6. A mediana seria a média de 7 e 8, ou seja, 7.5. Isso não é suficiente para vencer a equipe Ômega (7.8).
• CSe o aluno obtivesse 8, o conjunto seria: 10, 10, 8, 8, 8, 7, 7, 6.5, 6.5, 6. A mediana seria 7.5, que é menor que 7.6 (Delta), então não seria a segunda colocada.
• DA equipe Gama permanece na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. Mesmo com a nota máxima (10), a mediana não ultrapassa 7.5, que é menor que as pontuações de Ômega e Delta.
• ESe o aluno obtivesse 9, o conjunto seria: 10, 10, 9, 8, 8, 7, 7, 6.5, 6.5, 6. A mediana seria 7.5, que é menor que 7.8, então não há empate com Ômega.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha está na interpretação do impacto da nota do aluno ausente. Muitas pessoas podem pensar que qualquer nota acima de zero melhoraria a posição da equipe, mas na verdade, mesmo a nota máxima (10) não é suficiente para ultrapassar as outras equipes. A mediana é um valor robusto, e adicionar um único valor alto a um conjunto já variado não altera a classificação relativa de forma significativa.

O que estudar se você errou

Ao resolver problemas de mediana, é crucial lembrar que a mediana é afetada pela posição relativa dos números, não apenas pelo seu valor absoluto. Em um conjunto com muitos valores próximos, adicionar um outlier pode ter pouco efeito na classificação geral. Sempre compare o novo valor com os valores centrais do conjunto para prever o impacto na mediana.