ENEM 2009 · Matemática · funções
Questão 156 do ENEM 2009
Resposta: letra A. Calculamos o primeiro dígito verificador (d1) multiplicando os nove algarismos 1 a 9 pelos pesos 10 a 2, obtendo soma 210 e resto 1 ao dividir por 11; como o resto é 0 ou 1, d1 = 0. Para o segundo dígito (d2) usamos os algarismos 2 a 9 e o d1 encontrado (0), multiplicando pela mesma sequência 10 a 2, soma 244, resto 2; como o resto não é 0 nem 1, d2 = 11 – 2 = 9. Assim, os dígitos esquecidos são 0 e 9.
Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma _d1_ e _d2_, em que os dígitos _d1_ e _d2_ são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto _r_ da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto _r_ for 0 ou 1, _d1_ é zero, caso contrário _d1_ = (11 – r). O dígito _d2_ é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo _d1_ o último algarismo, isto é, _d2_ é zero se o resto _s_ da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, _d2_ = (11 – _s_).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,
- A0 e 9.Resposta correta
- B1 e 4.
- C1 e 7.
- D9 e 1.
- E0 e 1.
Como resolver a questão 156 passo a passo?
O conceito que resolve
O algoritmo de validação do CPF calcula dois dígitos verificadores a partir dos nove primeiros números, usando multiplicações por pesos decrescentes e o módulo 11; se o resto for 0 ou 1 o dígito é 0, caso contrário é 11 menos o resto.
Como chegar na resposta
- Multiplicar cada um dos nove algarismos (1,2,3,4,5,6,7,8,9) pelos pesos 10,9,8,7,6,5,4,3,2 respectivamente.
- Somar os produtos: 10+18+24+28+30+30+28+24+18 = 210.
- Calcular r = 210 mod 11 = 1.
- Como r é 0 ou 1, definir d1 = 0.
- Para d2, tomar os algarismos 2 a 9 (2,3,4,5,6,7,8,9) e acrescentar d1 = 0 como último algarismo.
- Multiplicar esses nove números pelos pesos 10,9,8,7,6,5,4,3,2: 20+27+32+35+36+35+32+27+0 = 244.
Por que cada alternativa
- ACorreta: o cálculo descrito resulta em d1 = 0 e d2 = 9, exatamente o que a alternativa afirma.
- Br, obtido 10 → 1 (ignorando que resto 0 ou 1 gera d1 = 0), levando a d1 = 1 e, usando esse valor errado no cálculo de d2, chegando a 4.
- CIncorreta: pode ter calculado d1 corretamente como 0, mas ao determinar d2 usado a sequência de pesos 11 a 2 (em vez de 10 a 2) sobre os nove algarismos originais, produzindo resto que gera d2 = 7.
- DIncorreta: pode ter invertido a ordem dos dígitos, acreditando que o primeiro verificador corresponde ao segundo cálculo e vice‑versa, trocando os resultados e obtendo 9 e 1.
- EIncorreta: pode ter considerado que, como o resto da primeira divisão foi 1, ambos os verificadores seriam 0 e 1, aplicando a regra «resto 0 ou 1 → dígito 0» também ao segundo passo sem recalcular a soma.
Onde essa questão derruba a maioria
O erro comum é aplicar a exceção «resto 0 ou 1 → dígito 0» apenas ao primeiro verificador e esquecer de recalcular a soma para o segundo, usando o d1 correto.
O que estudar se você errou
Revisar como os pesos são posicionados para cada dígito verificador e confirmar que, quando o resto é 0 ou 1, o dígito resultante é sempre zero, independentemente do valor do resto.
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