Questão 140 do ENEM 2009

Como resolver a questão 140 passo a passo?

O conceito que resolve

O problema envolve razão entre áreas, proporcionalidade e escalonamento. Quando se aumenta o lado de um quadrado, a área varia com o quadrado do fator de aumento. A condição de preservação impõe que a fração construída não ultrapasse 6 % do total, portanto basta comparar a porcentagem atual (2 %) com a permitida (6 %) e determinar o fator necessário.

Como chegar na resposta

1. Denote AB = x; como AB = BC/2, tem‑se BC = 2x.
2. Área total do terreno = AB·BC = x·2x = 2x².
3. Lado do quadrado = AE = AB/5 = x/5; sua área = (x/5)² = x²/25.
4. Proporção da área construída = (x²/25) / (2x²) = 1/50 = 0,02 = 2 % do terreno.
5. Para que a preservação seja exatamente 94 %, a construção deve ocupar 6 % do terreno; o fator necessário é 6 %/2 % = 3, logo a área do quadrado deve ser triplicada.
6. Comparando com as alternativas, somente a opção C (triplicar a área do quadrado) produz esse fator 3; as demais alteram o lado ou a área de forma que a porcentagem resultante difere de 6 %.

Por que cada alternativa

• ADuplicar o lado faz o quadrado ficar com lado 2·(AB/5); a área passa a ser (2·AB/5)² = 4·(AB/5)², ou seja, quatro vezes maior que a original. Como a área construída inicial corresponde a 2 % do terreno, quatro vezes esse valor dá 8 %, ultrapassando o limite de 6 %.
• BTriplicar o lado eleva o lado a 3·(AB/5); a área torna‑se (3·AB/5)² = 9·(AB/5)², nove vezes a área original. Assim a fração construída seria 2 %·9 = 18 %, muito acima dos 6 % permitidos.
• CTriplicar a área do quadrado eleva a fração construída de 2 % para 6 %, exatamente o máximo permitido, pois 3·(AB/5)² / (AB·BC) = 3·(AB/5)² / (2·AB²) = 3/50 = 0,06.
• DAumentar o lado em 4 % multiplica a área por (1,04)²≈1,0816; a área construída passa a ser 2 %·1,0816≈2,16 %, bem abaixo dos 6 % exigidos, portanto não atinge o limite.
• EAumentar a área em 4 % eleva a fração construída para 2 %·1,04=2,08 %, ainda insuficiente para chegar a 6 %.

Onde essa questão derruba a maioria

A armadilha está em confundir a porcentagem de preservação (94 %) com a porcentagem que pode ser construída (6 %). Muitos leem 94 % como limite máximo de construção e acabam escolhendo alternativas que aumentam demais a área.

O que estudar se você errou

Releia o enunciado e identifique qual porcentagem se refere à área que pode ser construída; calcule a razão entre a área construída atual e a permitida antes de analisar as alternativas.