ENEM 2023 · Matemática · geometria
Questão 172 do ENEM 2023
Resposta: letra C. A questão envolve a interpretação de um triângulo retângulo formado pelos diâmetros de três círculos (pizzas), onde o professor afirma que a área de sua pizza é maior que a soma das outras duas.
Sejam _a_, _b_ e _c_ as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores _a_, _b_ e _c_ são, respectivamente, os diâmetros dos círculos _C1_ , _C2_ e _C3_, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
- A0° < a < 90°
- BA = 90°
- C90° < a < 180°Resposta correta
- DA = 180°
- E180° < a < 360°
Como resolver a questão 172 passo a passo?
O conceito que resolve
A relação entre os lados de um triângulo retângulo e as áreas dos círculos inscritos. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se o ângulo 'a' é maior que 90°, o triângulo é obtusângulo, e a hipotenusa é maior que a soma dos catetos, implicando que a área do círculo da hipotenusa é maior que a soma das áreas dos círculos dos catetos.
Como chegar na resposta
- Identificar que o triângulo formado é retângulo, com 'a' como a hipotenusa e 'b' e 'c' como os catetos.
- Reconhecer que a área do círculo é proporcional ao quadrado do seu diâmetro (ou raio).
- Analisar as opções de ângulo 'a' para determinar quando a hipotenusa é maior que a soma dos catetos. Isso ocorre quando o triângulo é obtusângulo, ou seja, quando 'a' > 90°.
- Concluir que a única opção que satisfaz a condição de 'a' ser maior que 90° e menor que 180° é a alternativa C.
Por que cada alternativa
- A0° < a < 90°: Neste caso, o triângulo é acutângulo, e a hipotenusa é menor ou igual à soma dos catetos, tornando a área da pizza do professor menor ou igual à soma das outras duas.
- BA = 90°: Aqui, o triângulo é retângulo clássico, e a área da pizza do professor é exatamente igual à soma das outras duas, não maior.
- C90° < a < 180°: Esta é a condição correta. Um ângulo maior que 90° cria um triângulo obtusângulo, onde a hipotenusa é estritamente maior que a soma dos catetos, fazendo com que a área da pizza do professor seja maior que a soma das outras.
- DA = 180°: Um ângulo de 180° não forma um triângulo válido (seria uma linha reta). Portanto, esta opção não se aplica ao contexto da questão.
- E180° < a < 360°: Similar à opção anterior, um ângulo maior que 180° não forma um triângulo válido no contexto de um triângulo retângulo com hipotenusa e catetos. Esta opção é inválida.
Onde essa questão derruba a maioria
A pegadinha está na interpretação do que significa 'maior que a soma'. Muitas pessoas podem pensar que qualquer triângulo retângulo satisfaz isso, mas na verdade, para que a área da hipotenusa seja estritamente maior que a soma das áreas dos catetos, o triângulo precisa ser obtusângulo (a > 90°).
O que estudar se você errou
É importante revisar a definição de triângulos obtusângulos e acutângulos, bem como a relação entre os lados de um triângulo retângulo e as áreas dos círculos inscritos.
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