ENEM 2023 · Matemática · geometria
Questão 136 do ENEM 2023
Resposta: letra B. Calculamos o volume do cone original, subtraímos o volume do cone menor (similar) para obter o tronco de cone, depois subtraímos o volume do cilindro perfurado que tem a mesma altura do tronco. Multiplicamos o volume final pela densidade para obter a massa.
Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.
O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
- A1.198,8
- B1.296,0Resposta correta
- C1.360,8
- D4.665,6
- E4.860,0
Como resolver a questão 136 passo a passo?
O conceito que resolve
Volume de cone, frustum e cilindro; proporcionalidade de cones semelhantes; subtração de volumes.
Como chegar na resposta
- Volume do cone original: V = (1/3)πr²h = (1/3)·3·9²·36 = 2916 cm³.
- O cone menor tem raio 3 cm; por semelhança, altura = 36·(3/9) = 12 cm.
- Volume do tronco: Vt = (1/3)πh(R²+Rr+r²) = (1/3)·3·24·(9²+9·3+3²) = 2808 cm³.
- Cilindro perfurado: raio 3 cm, altura 24 cm (mesma altura do tronco). Vc = π·3²·24 = 216·3 = 648 cm³.
- Volume final: Vf = 2808 – 648 = 2160 cm³.
- Massa: m = 0,6 g/cm³ · 2160 cm³ = 1296 g.
Por que cada alternativa
- Acalcula o volume do tronco como 2808 cm³, mas subtrai um cilindro de volume 648 cm³, resultando em 2160 cm³; depois multiplica por 0,6, obtendo 1296 g, que não corresponde ao valor dado.
- Bcorresponde exatamente ao cálculo 0,6 × 2160 = 1296 g, portanto é a resposta correta.
- Cerro: usa o volume do cone original (2916 cm³) em vez do tronco, subtraindo o cilindro e multiplicando por 0,6.
- Derro: interpreta que o cilindro tem altura 36 cm (altura do cone original) e subtrai volume 648 cm³, mas depois multiplica por 0,6, resultando em 1296 g, que não é 4665,6.
- Eerro: calcula o volume do tronco (2808 cm³) e multiplica por 0,6, obtendo 1685,8 g, e depois adiciona o volume do cilindro em vez de subtrair.
Onde essa questão derruba a maioria
A confusão mais comum é pensar que o cilindro perfurado tem altura igual à do cone original (36 cm) ou que o cone menor não é semelhante ao original, alterando a altura do tronco.
O que estudar se você errou
Verifique se a altura do cilindro é a mesma do tronco (24 cm) e se o cone menor é semelhante ao original, garantindo a altura de 12 cm.
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