ENEM 2022 · Matemática · geometria
Questão 172 do ENEM 2022
Resposta: letra B. Calculamos a área interna de revestimento (fundo + quatro paredes) para cada projeto, usando as dimensões dadas e o volume fixo de 90 m³. O projeto II apresentou a menor área, 101 m², portanto é o escolhido.
Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90 000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento.
As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:
• projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;
• projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m;
• projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m;
• projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m;
• projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m.
O projeto que o casal deverá escolher será o
- AI.
- BII.Resposta correta
- CIII.
- DIV.
- EV.
Como resolver a questão 172 passo a passo?
O conceito que resolve
Para um paralelepípedo retangular com volume fixo, a área total das faces laterais e do fundo depende das proporções entre altura, largura e comprimento; minimizá‑la equivale a buscar a forma mais próxima de um cubo, já que, para volume constante, a soma das áreas é mínima quando as dimensões são iguais.
Como chegar na resposta
- Converter 90 000 L para 90 m³.
- Para cada projeto, calcular a área do fundo (largura × comprimento) e a área das quatro paredes (2×altura×largura + 2×altura×comprimento).
- Somar fundo e paredes para obter a área de revestimento.
- Comparar os valores e escolher o menor.
Por que cada alternativa
- AErro ao considerar apenas que a maior profundidade diminui a área do fundo, sem levar em conta que a altura elevada aumenta drasticamente a área das quatro paredes laterais.
- BCorreto porque apresenta a menor área total de revestimento (fundo + paredes) entre os projetos, resultante de dimensões mais equilibradas que minimizam a soma das áreas.
- CErro ao pensar que, tendo a maior área de fundo (90 m²), a piscina exigiria menos revestimento, ignorando que a altura reduzida não compensa a grande extensão lateral, que ainda gera área significativa nas paredes.
- DErro ao focar na menor largura (ou comprimento) e supor que isso reduz a área total, sem verificar que a altura intermediária ainda produz área considerável nas paredes laterais.
- EErro ao observar a menor soma de largura e comprimento (3 m + 12 m = 15 m) e concluir que as paredes laterais seriam mínimas, desprezando que a altura de 2,5 m eleva a área das paredes.
Onde essa questão derruba a maioria
Pode parecer que o projeto com a maior profundidade (I) tenha menos área porque reduz a base, mas a altura grande aumenta significativamente a área das paredes laterais, tornando‑o o menos econômico.
O que estudar se você errou
Verificar se o volume de cada conjunto de dimensões realmente resulta em 90 m³ e se a fórmula da área inclui apenas fundo e paredes (não o topo).
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