Questão 153 do ENEM 2022

Como resolver a questão 153 passo a passo?

O conceito que resolve

O volume de um cone circular reto é calculado pela fórmula V = (1/3) * π * r² * h, onde r é o raio da base e h é a altura. Como a altura permanece constante, a redução do volume depende apenas da variação do raio ao quadrado. O problema envolve proporção direta entre volume e raio ao quadrado, pois a altura é fixa.

Como chegar na resposta

1. Calcular o volume original do cone: Usando a fórmula V₀ = (1/3) * π * r₀² * h, com r₀ = 4 cm (pois o diâmetro é 8 cm) e h = 10 cm. Assim, V₀ = (1/3) * π * 4² * 10 = (1/3) * π * 16 * 10 = 160π/3 cm³ (valor exato não é necessário, mas a relação sim).
2. Determinar o novo volume: O volume deve ser 19% menor, ou seja, 81% do original. Assim, V₁ = 0,81 * V₀. Como V₀ ∝ r₀², então V₁ ∝ (0,81)^(1/2) * r₀, pois o volume depende de r².
3. Calcular a nova relação do raio: A raiz quadrada de 0,81 é 0,9, pois 0,9² = 0,81. Logo, o novo raio r₁ será 0,9 * r₀. Com r₀ = 4 cm, temos r₁ = 0,9 * 4 = 3,6 cm.
4. Verificar as alternativas: A única alternativa que corresponde a 3,6 cm é a C) 3,60 (notar que o enunciado pede o raio, não o diâmetro).
5. Confirmação por fórmula: Se usarmos a fórmula diretamente, V₁ = 0,81 * V₀ = (1/3) * π * r₁² * 10. Dividindo V₁/V₀ = 0,81, temos (r₁² * 10) / (16 * 10) = 0,81 → r₁² = 0,81 * 16 → r₁ = √(12,96) = 3,6 cm.

Por que cada alternativa

• A0,19 = 3,81 (errado) ou faz 4 * 0,81 = 3,24 (alternativa B, mas sem entender a raiz quadrada).
• B3,24: Erro de não considerar a raiz quadrada da redução de volume. Multiplicar 4 cm por 0,81 (sem raiz) dá 3,24 cm, ignorando que V ∝ r². Isso é comum em problemas de proporção direta simples, mas aqui o volume é não-linear em relação ao raio.
• C3,60: Correta. A redução de 19% no volume implica uma redução de 10% no raio (pois √0,81 = 0,9), resultando em 4 cm * 0,9 = 3,6 cm. A alternativa respeita a relação quadrática entre volume e raio.
• D6,48: Erro de escala ou confusão entre diâmetro e raio. Quem multiplica o raio original por 1,62 (por exemplo, achando que o volume aumenta) ou lê mal o enunciado (usando diâmetro ao invés de raio) chega a valores absurdamente maiores.
• E7,20: Erro de proporção direta ou leitura equivocada do texto. Quem acha que o volume reduzido corresponde a um aumento no raio (por exemplo, confundindo altura com raio) ou ignora a redução, chegando a 4 cm + 19% de 4 cm = 4,76 cm (arredondado incorretamente), ou ainda, quem calcula 4 cm * 1,8 por má interpretação.

Onde essa questão derruba a maioria

A principal pegadinha é a relação não-linear entre volume e raio. Muitos estudantes assumem que uma redução de 19% no volume implica uma redução de 19% no raio, ignorando que o volume depende do raio ao quadrado. Além disso, o enunciado menciona o diâmetro (8 cm), mas pede o raio na resposta, o que pode confundir quem não converte corretamente.

O que estudar se você errou

Antes de responder, revise se você considerou que o volume do cone depende do raio ao quadrado e não linearmente. Anote: uma redução de x% no volume não é a mesma que uma redução de x% no raio. Use a fórmula V = (1/3)πr²h e lembre-se de que a altura é fixa. Se possível, faça uma conta rápida com valores aproximados para checar: 3,6² = 12,96, e 12,96/16 = 0,81, que é 81% do volume original.