Questão 142 do ENEM 2021

Como resolver a questão 142 passo a passo?

O conceito que resolve

A questão envolve o cálculo de probabilidade em um experimento de Bernoulli (lançamento de dardos). A probabilidade de sucesso em um único lançamento é dada como 1/2. Para encontrar a probabilidade de pelo menos um sucesso em 'n' lançamentos, calculamos a probabilidade do evento complementar (nenhum sucesso) e subtraímos de 1. A fórmula para a probabilidade de nenhum sucesso em 'n' lançamentos é (1 - p)^n, onde p é a probabilidade de sucesso. O organizador quer que essa probabilidade seja menor ou igual a 1/10 (ou seja, que a probabilidade de acertar pelo menos um seja maior ou igual a 9/10).

Como chegar na resposta

1. Identificar a probabilidade de sucesso em um único lançamento: p = 1/2.
2. Calcular a probabilidade de nenhum sucesso em 'n' lançamentos: P(nenhum) = (1 - 1/2)^n = (1/2)^n.
3. Estabelecer a condição para o jogo ser mais atrativo: P(nenhum) ≤ 1/10.
4. Resolver a inequação para 'n': (1/2)^n ≤ 1/10. Como 1/10 = 1/2^3.32, n deve ser maior ou igual a 3.32. O menor inteiro que satisfaz é n = 4.
5. Verificar se n=4 satisfaz: (1/2)^4 = 1/16 < 1/10. Portanto, 4 dardos são suficientes.

Por que cada alternativa

• A2: Insuficiente. Com 2 dardos, a probabilidade de nenhum sucesso é (1/2)^2 = 1/4 = 25%, o que é muito alto (queremos menos de 10%).
• B4: Correta. Com 4 dardos, a probabilidade de nenhum sucesso é (1/2)^4 = 1/16 ≈ 6.25%, que é menor que 10%, satisfazendo a condição do organizador.
• C6: Excessivo. Embora 6 dardos também satisfaçam a condição (1/2)^6 = 1/64 < 1/10, a questão pede a 'quantidade mínima', que já foi alcançada em B).
• D9: Excessivo. Similar a C), 9 dardos é mais do que necessário para atingir a probabilidade desejada.
• E10: Excessivo. 10 dardos é ainda mais do que necessário, e não é a quantidade mínima requerida.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha está em interpretar mal o comando 'quantidade mínima'. Muitos alunos podem pensar que, como o objetivo é aumentar a probabilidade, um número maior de dardos é melhor. No entanto, a questão define um limite específico (9/10) e pergunta qual é o menor número de dardos que atinge esse limite. Apenas 4 dardos são necessários para passar desse limite, tornando opções como 6, 9 ou 10 desnecessárias.

O que estudar se você errou

Ao resolver problemas de probabilidade com eventos repetidos, é crucial distinguir entre a probabilidade do evento desejado e seu complemento. Aqui, o organizador quer que a probabilidade de *não* acertar seja baixa. Também é importante ler atentamente se a pergunta pede o valor mínimo, máximo, ou simplesmente um valor que satisfaça a condição, para não escolher uma resposta desnecessariamente grande.